Основные сведения о свойствах числовых неравенств

Определение и смысл неравенства

Неравенство — это математическое выражение, которое утверждает, что одно значение больше или меньше другого значения. В общем виде неравенство записывается с использованием знаков «» (больше), «=» (больше или равно).

Неравенство может быть применено к различным математическим объектам, таким как числа, переменные, выражения и функции. Оно позволяет сравнивать значения этих объектов и делать выводы о их относительной величине.

Смысл неравенства заключается в установлении отношений между двумя или более значениями. Например, неравенство «x > 5» утверждает, что значение переменной x больше 5. Это позволяет нам определить диапазон возможных значений для переменной x и сделать выводы о её свойствах и ограничениях.

Неравенство также может использоваться для нахождения решений уравнений и систем уравнений. Зная неравенство, мы можем определить множество значений, для которых оно выполняется, и использовать это для решения математических задач и моделирования реальных процессов.

Двойные, тройные неравенства и т.д.

Свойство транзитивности, которое мы затронули в предыдущем пункте, позволяет составлять так называемые двойные, тройные и т.д. неравенства, представляющие собой цепочки неравенств. Для примера приведем двойное неравенство a<b<c и тройное неравенство q₁≥q₂≥q₃≥q₄.

Теперь разберем, как понимать такие записи. Их следует трактовать в согласии со смыслом содержащихся в них знаков. Например, двойное неравенство a<b<c по сути представляет собой краткую запись трех неравенств a<b, b<c и a<c, причем третье из них как бы излишне, так как следует из первых двух по свойству транзитивности. Аналогично, указанное выше тройное неравенство q₁≥q₂≥q₃≥q₄ можно рассматривать как три основных неравенства q₁≥q₂, q₂≥q₃, q₃≥q₄ и следующих из них неравенств вида q₁≥q₃, q₁≥q₄, q₂≥q₄.

В заключение заметим, что иногда удобно использовать записи в виде цепочек, содержащих одновременно как знаки равно, не равно, так и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x=2<y≤z<17.

Список литературы.

• Моро М. И.. Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. — М.: Просвещение, 2006. — 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). — ISBN 5-09-014951-8.
• Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Определение, основные свойства

Числовые неравенства обладают рядом ключевых свойств:

1. При умножении или делении обеих частей неравенства на одинаковое число, большее нуля, в результате получается верное неравенство.
2. При умножении или делении обеих частей неравенства на одинаковое число, которое меньше нуля, следует изменить знак неравенства на противоположный, чтобы получить в результате верное неравенство.
3. Когда a и b являются положительными числами, a < b, справедливо следующее неравенство: 

Разберем несколько примеров, наглядно демонстрирующих действие перечисленных свойств числовых неравенств:

Запишем некое неравенство:

45 > 21

Умножим левую и правую части неравенства на число 10, которое является положительным, получим верное неравенство:

450 > 210

Рассмотрим следующее неравенство:

95 > 35

Попробуем разделить правую и левую части неравенства на одинаковое отрицательное число, к примеру, -5. Затем поменяем знак неравенства на противоположный:

В результате получается верное неравенство:

–19 < –7

Запишем два числа:

17 и 52

Заметим, что:

17 < 52

Если разделить единицу на каждое из этих чисел, которые являются частями неравенства, получим:

Данное неравенство является верным. В качестве доказательства можно вспомнить третье свойство числовых неравенств.

Сравнение чисел

Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ «<»читается как «меньше». Например, запись

22 < 23

читается как «22 меньше 23» Другой знак, «>», означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

b располагается правее а, а потому

b>a

Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что

b– а = с

Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить

а – b = – с

Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

Решение. Найдем :

Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

Ответ: 29/35 > 33/40.

Общий способ сравнения чисел

Число а больше числа b (а>b), если их разность (а — b) — положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а — b) — отрицательное число.

Свойства числовых неравенств:

1. Если a>b, то b<а; если a<b, то b>a;
2. Если a<b и b<c, то a<b<c;
3. Если a<b и $c\in\mathbb{R}$, то a+c<b+c;
4. Если а<b и с>0, то ас<bс; если а<b и с<0, то ac>bc;
5. Если a<b и c<d, то a+c<b+d;
6. Если a<b и c<d и а, b, с, d — положительные числа, то ac<bd.

Решение неравенства с одной переменной — это значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Решение системы неравенств с одной переменной — это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Описание алгоритма для вычисления

Решить неравенство означает, что требуется выполнить такие преобразования, в результате которых левая часть будет содержать лишь неизвестное в первой степени с коэффициентом, который равен единице.

Метод интервалов применим в случае тех линейных неравенств, в которых коэффициент х отличен от нуля. Алгоритм действий:

• запись функции y = ax + b;
• определение нулей, что позволит разбить область определения на участки;
• перенос полученных корней на координатную прямую;
• определение знаков для интервалов.

Когда неравенство имеет вид  , метод интервалов использую таким образом:

1. Поиск нулей функции y = ax + b, чтобы решить уравнение ax + b = 0. В том случае, когда , имеется единственный корень 
2. Изображение координатной прямой с точкой, которая имеет координату . Если неравенство строгое, то точка будет выколотой, в противном случае, то есть при нестрогом неравенстве, точку изображают закрашенной.
3. Определение знаков для функции y = ax + b на промежутках. В процессе требуется выполнить поиск значений для функции в точках на промежутке. Когда решение неравенства со знаками > или , следует заштриховать область над положительным промежутком на координатной прямой. При < или  требуется заштриховать область над отрицательным промежутком.

Руководствуясь стандартным алгоритмом, на первом шаге вычислим корень уравнения:

-3x + 12 > 0

-6x = -12

x = 2

Далее нарисуем координатную ось, на которой отмечена выколотая точка, исходя из того, что неравенство строгое:

Затем можно приступить к определению знаков на соответствующих промежутках. Рассмотрим промежуток . Определим функцию y = -6x + 12 при x = 1

6 > 0

В результате, данному промежутку соответствует знак «плюс».

Аналогично проанализируем промежуток . Выполним подстановку x = 3.

-6 < 0

На этом участке знак «минус».

Найдем корни со знаком >. Заштрихуем область над положительным промежутком.

Исходя из рисунка, можно заключить, что решением станут:  или x < 4

Алгоритм решения квадратных неравенств с помощью метода интервалов:

1. Переместить все члены влево таким образом, чтобы справа оставался лишь нуль.
2. Выполнить преобразования так, чтобы коэффициент при неизвестном  приобрел положительное значение.
3. Приравнять левую часть неравенства к нулю для последующего решения квадратного уравнения.
4. Корни, которые получились в результате решения квадратного уравнения, отметить на числовой оси в порядке возрастания.
5. Изобразить интервалы и расставить знаки.
6. Определить нужные интервалы и записать ответ.

На первом шаге нужно выполнить перенос всех членов неравенства так, чтобы они оказались в левой части, а справа находился нуль. Данное неравенство уже преобразовано, поэтому это действие можно пропустить.

Затем требуется сделать так, чтобы перед  располагался положительный коэффициент. В нашем случае этим коэффициентом является +1, поэтому в дополнительных действиях необходимость отсутствует.

На следующем шаге нужно приравнять левую часть неравенства к нулю, а затем найти корни квадратного уравнения:

Корни, которые получились в результате вычислений, нужно отметить на числовой оси, соблюдая порядок возрастания.

Изобразим интервалы:

Выполним расстановку знаков поочередно с правой стороны в левую, начиная со знака «плюс»:

Для того чтобы записать ответ, требуется выбрать необходимые интервалы

Если обратить внимание на исходное неравенство, то можно заметить, что:. В связи с этим, для решения подходят отрицательные интервалы:

В связи с этим, для решения подходят отрицательные интервалы:

Отрицательный интервал соответствует значениям от -4 до 3. Ответ нужно сформулировать, как двойное неравенство, то есть:

-4 < x < 3

Когда ответ получен, целесообразно выполнить проверку. В данном случае подберем какое-то число, которое соответствует заштрихованному участку -4 < x < 3 и выполним подстановку в начальное неравенство. В том случае, когда оно обратиться в верное неравенство, можно сделать вывод о правильности данного ответа.

В качестве примера выберем число 0. Подставим 0 в исходное неравенство:

Полученное неравенство является верным. Таким образом, в процессе решения был получен правильный ответ.

Свойства неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:

а – b = c

умножив части равенства на (– 1), получим:

– (а – b) = – с

(b– a) = – с

Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb<a.

Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:

Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.

Данное свойство называют транзитивностью. Им обладает не только отношение «больше — меньше», но и ряд других отношений. Например, из геометрии известно, что если отрезок АВ параллелен отрезку CD, а тот в свою очередь параллелен ещё одному отрезку EF, то и АВ параллельно ЕF.

Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:

25 < 48 < 94

Можно использовать и более двух знаков сравнения:

365 <366 < 367 < 368 < 369

Другими словами, к обеим частям верного неравенства можно добавить одинаковое число, и оно всё равно останется верным. Действительно, пусть нам надо сравнить величины (а + с) и (b + c). Для этого найдем их разность:

(а + с) – (b + c) = a + c – b – с = а – b

Так как a<b, то и разность а – b отрицательна. Значит, отрицательна разность величин (а + с) и (b + c), из чего следует, что

а + с <b + c

Проиллюстрируем это на примере неравенства

73 < 86

Добавим к обеим частям число 11 и получим другое верное равенство:

73 + 11 < 86 + 11

84 < 97

Снова рассмотрим разность величин ac и bc:

ac– bc = (a– b)c

Разность (а – b) отрицательна при условии а <b. Если с – положительное число, то всё произведение (a– b)c остается отрицательным, т тогда

ас <bc

Если же c– отрицательное число, то произведение (a– b)c становится положительным, а потому

ас <bc

Пусть есть неравенство

100< 200

Если умножить его на положительное число, например, на 3, то получим верное равенство

300 < 600

Если же умножить его на (– 3), то придется «перевернуть» знак сравнения, поставить вместо «<»знак «>»:

– 300 >– 600

Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:

Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):

(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)

Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a<bи c<d. Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, а потому можно утверждать, что

а + c<b + d

Покажем, как с помощью этого правила можно складывать неравенства. Пусть есть два верных неравенства:

59<62

69<75

Теперь сложим отдельно их правые и левые части:

59 + 69<62 + 75

128 < 137

Однако если у неравенств разные знаки, то для их сложения надо в одном из них поменять местами правую и левую часть. Например, даны неравенства

63 < 99

26> 25

В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство

25 < 26

теперь в обоих неравенствах стоит знак «<», поэтому их можно сложить:

63 + 25 < 99 + 26

88 < 125

Последнее правило позволяет перемножать неравенства:

Для доказательства утверждения найдем разность величин ac и bd. При этом добавим к ней слагаемое bc и тут же его вычтем (это необходимо для того, чтобы мы смогли сгруппировать слагаемые):

ac – bd = ac – bd– bc + bc= (ac – bc) + (bc – bd) =

=c(a– b) + b(c– d)

Так как разности (a– b) и (c– d) являются отрицательными числами, c и b – положительными, то и произведения c(a– b) и b(c– d) – это отрицательные величины. Сумма же двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому

ac<bd

Покажем на примере использование этого правила. Пусть есть неравенства

7<8

5<6

Перемножив их, получим:

7•5<8•6

35 < 48

Решение систем неравенств с одной переменной

Из 7 класса мы помним, что помимо отдельных уравнений порою приходиться решать и . Аналогично существуют и системы неравенств.

Для обозначения систем используются фигурные скобки. Можно убедиться подстановкой, что для системы

числа 12 и 13 будут являться решением, а числа 9 и 16 – нет.

Как и в случае с одиночными нер-вами, нам требуется найти числовой промежуток, все числа которого будет решениями системами. Отметим на координатной прямой решений нер-ва х > 10 (штриховка сверху) и х < 15 (штриховка снизу):

Красным цветом выделен промежуток (10; 15), который является решением для обоих нер-в. Именно он и является решением системы

Заметим, что решением системы неравенств является пересечением множеств решений каждого отдельного нер-ва, входящего в его состав. Подробнее о понятии пересечения множеств можно узнать из .

Для того чтобы решить систему, надо решить каждое отдельное нер-во, а потом найти пересечение полученных решений. Рассмотрим несколько задач.

Пример. Найдите решение системы неравенств

Решение. В первом нер-ве перенесем слагаемое вправо, а второе поделим на 3:

Решением первого нер-ва будет промежуток (3; + ∞), а второго – промежуток (– ∞; 9). Их пересечением будет промежуток (3; 9):

Ответ: (3; 9).

Пример. При каких значениях переменных верна система

Решение. Преобразуем систему:

Решения этих двух нер-в, (8; + ∞) и (– ∞; – 2), не пересекаются:

Таким образом, система не имеет решения. Другими словами, ее решение – , обозначаемое символом ∅.

Ответ: ∅

Пример. Укажите решение системы неравенств

Решение:

Решениями этих нер-в являются промежутки (– ∞; 4] и (– ∞; 6), их пересечением является (– ∞; 4] (он является подмножеством (– ∞; 6)):

Ответ: (– ∞; 4].

Основные свойства неравенств

1. Если , то .

2. Если и ,
то (свойство транзитивности).

3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится
верное неравенство, то есть если , то
.

4. Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое,
изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, то есть если
, то
.

5. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число,
то получится верное неравенство. Например, если , то
.

6. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число
и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если
, то
, то есть
.

7. Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю,
то аналогичные правила можно применить и к делению. Например, если
, то
и
.

Решение линейных неравенств

Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.

Определение 1. Линейное неравенство с неизвестной переменной x имеет вид ax + b > 0, когда вместо > используется любой знак < , ≤ , ≥ , а и b — действительные числа, a ≠ 0.

Определение 2. Неравенства называют линейными с одной переменной, когда ax < c или ax > c , где x — переменная, a, c — некоторые числа.

Мы не знаем может ли коэффициент равняться нулю, поэтому: 0 * x > c и 0 * x < c можно записать в форме нестрогого неравенства: ax ≤ c, ax ≥ c . Такое уравнение принято называть линейным. Его главные различия:

• форма записи ax + b > 0 — в первом и ax > c — во втором;
• допустимость равенства нулю: a ≠ 0 — в первом, a = 0 — во втором.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.

Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

• ax + b < 0,
• ax + b > 0,
• ax + b ≤ 0,
• ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

О точности оценок

В первом пункте этой статьи мы сказали, что для выражения могут иметь место множество оценок его значений. Являются ли одни из них лучше других? Это зависит от решаемой задачи. Поясним на примере.

Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих пунктах, можно получить две оценки значений выражения : первая — это , вторая — это . Трудозатраты на получение этих оценок существенно отличаются. Первая из них практически очевидна, а получение второй оценки сопряжено с нахождением наименьшего значения подкоренного выражения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции извлечения квадратного корня. В некоторых случаях с решением поставленной задачи позволяет справиться любая из оценок. Например, любая из наших оценок позволяет решить уравнение . Понятно, что в этом случае мы бы ограничились нахождением первой очевидной оценки, и, естественно, не напрягались бы в нахождении второй оценки. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения поставленной задачи. Например, первая наша оценка не позволяет решить уравнение , а оценка позволяет это сделать. То есть, в этом случае первой очевидной оценки нам было бы недостаточно, и нам пришлось бы находить вторую оценку.

Так мы подошли к вопросу о точности оценок. Можно детально определить, что понимать под точностью оценки. Но для наших нужд в этом нет особой надобности, нам будет достаточно упрощенного представления о точности оценки. Давайте договоримся воспринимать точность оценки как некоторый аналог точности приближения
. То есть, давайте из двух оценок значений некоторого выражения f(x)
считать более точной ту, которая «ближе» к области значений функции y=f(x)
. В этом смысле оценка является самой точной из всех возможных оценок значений выражения , так как она совпадает с областью значений соответствующей функции . При этом понятно, что оценка точнее оценки . Другими словами, оценка грубее оценки .

Есть ли смысл все время искать самые точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что для решения задач часто хватает сравнительно грубых оценок. А главное преимущество таких оценок перед точными оценками в том, что часто их значительно проще получить.

Метод интервалов

При решении сложных неравенств весьма эффективен метод интервалов. Он работает в том случае, если в одной части нер-ва стоит произведение нескольких множителей (обычно линейных полиномов), а в другой ноль. Тогда знак неравенства можно поменять на «=», и получить уравнение. Далее его следует решить и отметить на координатной прямой полученные корни. Эти корни разобьют числовую прямую на несколько интервалов. Далее надо просто определить, на каких интервалах выполняется неравенство. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример. Решите неравенство

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) > 0

Решение.

Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = 0

Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0

Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:

1. х – 5 = 0

х = 5

2. х – 7 = 0

х = 7

3. 4 – 2х = 0

– 2х = – 4

х = 2

Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:

• (– ∞; 2);
• (2; 5);
• (5; 7);
• (7; + ∞).

В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

1. Из промежутка (– ∞; 2) возьмем х = 0:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

Получили число, большее нуля: 140 > 0

2. Из промежутка (2; 5) возьмем х = 3:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

Получили отрицательное число.

3. Из промежутка (5; 7) возьмем х = 6:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– = 8

Получили положительное число

4. Для последнего промежутка возьмем х = 8:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36

Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:

Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.

Ответ: (– ∞; 2)⋃(5; 7)

В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

• 5х + 9
• 8х – 13
• 7,56х + 12,35

Пример. Определите, при каких значениях переменной полином

х2 – 8х + 12

принимает отрицательные значения.

Решение. По сути, нам надо решить нер-во

х2 – 8х + 12< 0

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Для этого надо решить уравнение:

х2 – 8х + 12 = 0

D = (– 8)2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16

Зная х₁ и х₂, можем записать, что

х2 – 8х + 12 = (х – х₁)(х – х₂) = (х – 2)(х – 6)

Перепишем исходное нер-во:

(х – 2)(х – 6) > 0

К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):

(х – 2)(х – 6) = 0

х – 2 = 0 или х – 6 = 0

х = 2 или х = 6

Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:

На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5

Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3

На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5

В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).

Ответ (2; 6).

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

• во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
• во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
• во время решения ax + b > 0 произвести определение промежутка, где график изображается выше Ох;
• во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
Координаты точки пересечения с Ох равны −√3 : 5.
Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!

• Красный значит быстрый откуда фраза

    

• В песни о вещем олеге встречаются устаревшие слова и выражения к словам и выражениям

    

• Наука имеет много гитик откуда эта фраза

    

• В каком из высказываний содержится информация о миграции населения

    

• Смешные фразы про невезение

Решение совокупностей неравенств

Несколько неравенств могут быть объединены не только в системы, но и в совокупности. Отличие совокупности от системы заключается в том, что ее решением является любое число, которое обращает в верное числовое неравенство хотя бы одно из входящих в него нер-в.

Для обозначения совокупности используется квадратная скобка. Так решением совокупности

являются все числа, которые либо больше 10, либо меньше 6:

Можно сказать, что решение совокупности является объединением множеств решений всех входящих в него нер-в. Записывается это так:

(– ∞; 6)⋃(10; + ∞)

Пример. Найдите решение совокупности неравенств

Решение. Преобразуем совокупность

Отметим решения этих нер-в:

Так как мы решаем не систему нер-в, а их совокупность, то ответом будет являться та область числовой прямой, которая заштрихована хотя бы с одной стороны, не обязательно с двух (эта область выделена красным цветом). Получаем, что решением совокупности является луч (– ∞; 1).

Заметим, что если бы мы решали систему, а не совокупность, то ответом был бы луч (– ∞; 0,5).

Ответ: (– ∞; 1).

Что такое неравенства?

Неравенства нужны для того, чтобы сравнивать числа и выражения. Очевидно, что, например, число \(5\) больше, чем число \(3\). Записать это утверждение можно при помощи знака больше — \(«\gt»\):
$$5 \gt 3;$$
Широкая часть знака \(«\gt»\) направлена на то число, которое больше, а узкая направлена на меньшее число.

Верно и обратное утверждение — число \(3\) меньше \(5\), математическим языком это записывается при помощи знака меньше — \(«\lt»\):
$$3 \lt 5;$$
Таким образом, запись \(x \gt 4\) означает, что вместо переменной \(x\) можно брать любые значения больше \(4\).

Если, например, \(x=3\), то неравенство \(x \gt 4\) перестает быть верным, ведь \(3\) не больше \(4\).

Двойные неравенства

Иногда приходится иметь дело с двойными неравенствами. Так называются неравенства вида

a’ .

По существу, эта формула объединяет в себе два неравенства: a’ и a . Этим и объясняется название «двойное неравенство».

Двойные, неравенства обладают всеми теми свойствами, о которых мы говорили в § 10-12, когда рассматривали обычные неравенства. Например, к каждой части двойного неравенства можно прибавить любое число k:

a’ + k . (1)

Каждую часть двойного неравенства можно умножить на любое положительное число k:

ka’ . (2)

Каждую часть двойного неравенства можно умножить и на любое отрицательное число l, поменяв при этом знаки неравенства на противоположные:

la’ > la > la». (3)

Свойства неравенств

Согласно тому, как мы ввели понятие неравенства, можно описать основные свойства неравенств. Понятно, что объект не может быть не равен самому себе. В этом состоит первое свойство неравенств. Второе свойство не менее очевидно: если первый объект не равен второму, то второй не равен первому.

Введенные на некотором множестве понятия «меньше» и «больше» задают на исходном множестве так называемые отношения «меньше» и «больше». Это же относится и к отношениям «меньше или равно» и «больше или равно». Они также обладают характерными свойствами.

Начнем со свойств отношений, которым соответствуют знаки < и >. Перечислим их, после чего дадим необходимые комментарии для пояснения:

• антирефлексивность;
• антисимметричность;
• транзитивность.

Свойство антирефлексивности с помощью букв можно записать так: для любого объекта a неравенства a>a и a<a – являются неверными. Свойство антисимметричности утверждает, что если первый объект больше (меньше) второго, то второй объект соответственно меньше (больше) первого. В формальной записи, если a>b, то b<a, а также, если a<b, то b>a. Наконец, свойство транзитивности состоит в том, что из a<b и b<c следует, что a<c, а также, из a>b и b>c следует, что a>c. Это свойство также воспринимается достаточно естественно: если первый объект меньше (больше) второго, а второй меньше (больше) третьего, то понятно, что первый объект подавно меньше (больше) третьего.

В свою очередь отношениям «меньше или равно» и «больше или равно» присущи следующие свойства:

• рефлексивности: имеют место неравенства a≤a и a≥a (так как они включают в себя случай a=a);
• антисимметричности: если a≤b, то b≥a, и если a≥b, то b≤a;
• транзитивности: из a≤b и b≤c следует, что a≤c, а из a≥b и b≥c следует, что a≥c.

Неравенства, содержащие переменную

1. Решение неравенств основано на их свойствах.

2. Если к обеим частям неравенства
прибавить (или вычесть) одну и ту же функцию ,
область определения которой принадлежит области определения данного неравенства, то получится неравенство,
равносильное данному. (Область определения неравенства — пересечение множеств, на которых определена
каждая из функций и
, входящих в неравенство.)

3. Любое слагаемое, определённое для всех значений переменной, можно перенести из
одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

4. Если обе части неравенства
умножить (или разделить) на одну и ту же функцию ,
определённую для всех значений переменной x из области определения данного неравенства,
сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при ,
получится неравенство, равносильное данному, а при
равносильным данному является неравенство протиположного смысла.