Алгебра 8 мордкович (упр. 14.1

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

Примеры вычислений систем уравнений и неравенств:

$$\begin{cases}x^2-y^2=3 \\ x^4-y^4=15 \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}2x+y+(x-2y)^2=3 \\ x^2-4xy+4y^2=9-3(2x+y) \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}x+y=3 \\ y+z=8 \\ x+2y+3z=23 \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}5x-7>3x-15 \\ 25-4x>29+2x \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

$$\begin{cases}\frac{x^2-9}{x}\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

$$\begin{cases}\frac{x^2+4x+4}{x+2}\le 9 \\ 2x+9>1 \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

Контрольная работа № 7«Числовые неравенства и их свойства»

Содержание (быстрый переход):

Общая характеристика контрольной работы

Контрольная работа составлена в 6 вариантах различной сложности (варианты 1, 2 самые простые, варианты 3, 4 сложнее и варианты 5, 6 самые сложные). При этом сложность вариантов нарастает не очень резко. Каждый вариант содержит 6 задач примерно одинаковой сложности (может быть, несколько сложнее две последние задачи).

При проверке вариантов 1, 2 оценка «5» ставится за правильное решение пяти задач, оценка «4» — четырех задач и оценка «3» — трех задач. Одна задача является резервной (или запасной) и дает некоторую свободу выбора учащимся. При таких же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 дается дополнительно 0,5 балла, вариантов 5, 6 — 1 балл (т. е. оценку «5» можно получить за правильное решение четырех задач).

I уровень сложности. Варианты 1 и 2

1. Сравните значения числовых выражений А = 1/2 + 1/6 – 2/3 и В = 3/4 • (–1 1/₃).
2. Известно, что а > b. Расположите в порядке возрастания числа а + 11, b – 5, а + 2, b – 8, b – 3.
3. Докажите неравенство (х + 2)2 ≥ 8х.
4. Докажите неравенство 3×2 – 6х + 5 > 0.
5. Для числа а выполнено неравенство 4 < а < 5. Оцените значение выражения 2а – 7.
6. Известны границы длин основания а и боковой стороны b равнобедренного треугольника (в мм): 24 ≤ а ≤ 26 и 32 ≤ b ≤ 34. Оцените периметр треугольника.

1. Сравните значения числовых выражений А = 1/3 + 1/4 – 1/2 и В = 2/7 • (–3,5).
2. Известно, что а < b. Расположите в порядке убывания числа а – 3, а – 8, b + 17, b + 3, b + 9.
3. Докажите неравенство (x – 3)2 ≥ –12x.
4. Докажите неравенство 3×2 + 12х + 13 > 0.
5. Для числа а выполнено неравенство 3 < а < 4. Оцените значение выражения 4а – 9.
6. Известны границы длин основания а и боковой стороны b равнобедренного треугольника (в мм): 37 ≤ а ≤ 38 и 42 ≤ b ≤ 44. Оцените периметр треугольника.

II уровень сложности. Варианты 3 и 4

1. Сравните значения числовых выражений
   А = 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/99 и В = 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/100.
2. Известно, что для чисел а, b, с, d выполнены неравенства d > b, с < а, b > а. Расположите числа a, b, с, d в порядке убывания.
3. Докажите неравенство (а + 5)(а – 2) > (а – 5)(а + 8).
4. Докажите неравенство а2 – а ≤ 50а2 – 15а + 1.
5. Для чисел а и b выполнены неравенства 7 ≤ а ≤ 8 и 6 ≤ b ≤ 20. Оцените значения выражения 3а – 2b.
6. Найдите наименьшее значение выражения А = х + 9/х + 5 (для х > 0).

1. Сравните значения числовых выражений А = 1/5 + 1/6 + 1/7 + … + 1/100 и В = 1/4 + 1/5 + 1/6 + … + 1/99.
2. Известно, что для чисел a, b, с, d выполнены неравенства а > с, d < a, b > d. Расположите числа a, b, с, d в порядке убывания.
3. Докажите неравенство (а + 4)(а – 1) > (а – 7)(а + 10).
4. Докажите неравенство а2 + а ≤ 65а2 – 15а + 1.
5. Для чисел а и b выполнены неравенства 8 ≤ а ≤ 10 и 7 ≤ b ≤ 13. Оцените значения выражения 2а – 3b.
6. Найдите наименьшее значение выражения А = х + 16/х + 7 (для х > 0).

III уровень сложности. Варианты 5 и 6

1. Сравните значения числовых выражений А = √19 + √21 и В = 2√20.
2. Расположите в порядке возрастания числа За, a√5, –2а, а(√3 – 1), а(√2 – 2), 2а, если а — положительное число.
3. Докажите неравенство 2х2 + у2 + 4х – 4у + 7 > 0.
4. Для чисел а и b выполнены неравенства 3 ≤ a ≤ 4 и 4 ≤ b ≤ 5. Оцените значения выражения 7а – 20/b.
5. К числителю и знаменателю правильной дроби m/n (где m и n — натуральные числа, m < n) прибавили число 2. Увеличится или уменьшится дробь?
6. Найдите наименьшее значение функции у = (2х4 + 7×2 + 32)/x2.

1. Сравните значения числовых выражений А = 2√22 и В = √21 + √23.
2. Расположите в порядке убывания числа (√5 – 2)а, –7а, 4а, а(√3 – √2), –а√3, 2а, если а — положительное число.
3. Докажите неравенство x2 + 2у2 – 2х + 8у + 10 > 0.
4. Для чисел а и b выполнены неравенства 5 ≤ а ≤ 6 и 2 ≤ b ≤ 5. Оцените значения выражения 6а – 10/b.
5. Из числителя и знаменателя правильной дроби m/n (где m и n — натуральные числа, m < n) вычли число 1. Увеличится или уменьшится дробь?
6. Найдите наименьшее значение функции у = (3х4 + 5×2 +12)/x2.

ОТВЕТЫ на контрольную работу.
Варианты 1-4

Вариант 1№ 1. А > В.№ 2. b – 8, b – 5, b – 3, а + 2, а + 11.№ 5. 1 < 2а – 7 < 3.№ 6. 88 ≤ Р ≤ 94.

Вариант 2№ 1. А > В.№ 2. b + 17, b + 9, b + 3, а – 3, а – 8.№ 5. 3 < 4а – 9 < 7.№ 6. 121 ≤ Р ≤ 126.

Вариант 3№ 1. А > В.№ 2. с, а, b, d.№ 5. –19 ≤ За – 2b ≤ 12.№ 6. А = 11.

Вариант 4№ 1. А < В.№ 2. b, d, а, с.№ 5. –23 ≤ 2а – 3b ≤ –1.№ 6. А = 15.

ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на контрольную работу. Варианты 5-6

Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). ГЛАВА IV. НЕРАВЕНСТВА. § 10. Числовые неравенства и их свойства (8 ч). Урок 72. Алгебра 8 Макарычев Контрольная 7 + ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ.

Смотреть Список всех контрольных по алгебре в 8 классе по УМК Макарычев

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования в 8 классе.

ГДЗ за 8 класс по Алгебре Жохов В.И., Макарычев Ю.Н. дидактические материалы

gdz.im

Найти

Навигация по гдз

1 класс

Русский язык

Математика

Английский язык

Окружающий мир

Литература

Информатика

Музыка

Человек и мир

2 класс

Русский язык

Математика

Английский язык

Немецкий язык

Окружающий мир

Литература

Информатика

Музыка

Технология

Человек и мир

Белорусский язык

3 класс

Русский язык

Математика

Английский язык

Немецкий язык

Окружающий мир

Литература

Информатика

Музыка

Человек и мир

Белорусский язык

Испанский язык

4 класс

Русский язык

Математика

Английский язык

Немецкий язык

Окружающий мир

Литература

Информатика

Музыка

Человек и мир

Белорусский язык

Испанский язык

5 класс

Русский язык

Математика

Английский язык

Немецкий язык

История

География

Биология

Обществознание

Физика

Литература

Информатика

Музыка

Технология

ОБЖ

Природоведение

Естествознание

Человек и мир

Белорусский язык

Украинский язык

Французский язык

Испанский язык

Китайский язык

Кубановедение

6 класс

Русский язык

Математика

Глава 1. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

1.11.21.31.41.51.61.71.81.91.101.111.121.13

2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.202.212.222.23

§ 3. Свойства арифметического квадратного корня

3.13.23.33.43.53.63.73.83.93.103.113.123.133.143.153.163.173.18

3.193.203.213.223.233.243.253.263.273.283.293.303.313.323.333.343.353.363.373.383.393.40

§ 4. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

4.14.24.34.44.54.64.74.84.94.104.114.124.134.144.154.164.174.184.194.204.214.224.234.244.254.264.274.284.294.304.314.324.334.344.354.364.374.38

4.394.40

Контрольные работы по алгебре, 8 класс (по Макарычеву)

Контрольные работы по алгебре в 8

Контрольная работа №1.

«Рациональные дроби и их свойства. Сумма и разность дробей»

Вариант 1.

1. Сократите дробь:

2. Представьте в виде дроби:

3. Найдите значение выражения при

4. Упростить выражение:

Вариант 2.

1. Сократите дробь:

2. Представьте в виде дроби:

3. Найдите значение выражения при

4. Упростить выражение:

Контрольные работы по алгебре в 8

Контрольная работа №2.

«Рациональные дроби. Произведение и частное дробей».

1 вариант.

1. Представьте выражение в виде дроби:

2. Постройте график функции . Какова область определения функции? При каких значениях функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях значение выражения не зависит от .

2 вариант.

1. Представьте выражение в виде дроби:

2. Постройте график функции . Какова область определения функции? При каких значениях функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях значение выражения не зависит от .

.

Контрольная работа №3.

«Действительные числа. Свойства арифметического квадратного корня»

1 вариант.

1. Вычислите: а) б) в)

2. Найдите значение выражения:

а)

3. Решить уравнения: а)

4. Упростить выражение: а)

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число

6. Имеет ли корни уравнение

2 вариант.

1. Вычислите: а) б) в)

2. Найдите значение выражения:

а)

3. Решить уравнения: а)

4. Упростить выражение: а)

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число

6. Имеет ли корни уравнение

Контрольная работа №4.

«Применение свойств арифметического квадратного корня»

1 вариант.

1. Упростите выражение:

2. Сравните:

3. Сократите дробь:

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.

2 вариант.

1. Упростите выражение:

2. Сравните:

3. Сократите дробь:

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.

Контрольная работа №5.

«Квадратные уравнения и его корни»1 вариант.

1. Решите уравнения:

2. Периметр прямоугольника 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 24см².

3. В уравнении один из корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

2 вариант.

1. Решите уравнения:

2. Периметр прямоугольника 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 36см².

3. В уравнении один из корней равен -7. Найдите другой корень и коэффициент q.

Контрольная работа №6.

«Дробные рациональные уравнения»

1 вариант.

1. Решить уравнение: а) б)

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

2 вариант.

1. Решить уравнение: а) б)

2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему понадобилось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Контрольная работа №7.

«Числовые неравенства и их свойства»

1 вариант.

1. Докажите неравенство:

2. Известно, что . Сравните:

3. Известно, что . Оцените:

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами см и см, если известно, что

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и тоже число . Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

2 вариант.

1. Докажите неравенство:

2. Известно, что . Сравните:

3. Известно, что . Оцените:

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами см и см, если известно, что

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и тоже число . Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

Контрольная работа №8

«Неравенства с одной переменной и их системы»

Алгебра

14. Нахождение приближённых значений квадратного корня

Рассмотрим, как можно находить приближённые значения арифметического квадратного корня.

Найдём, например, приближённое значение с тремя знаками после запятой.

Так как 12 меньше 2, а 22 больше 2, то число заключено между целыми числами 1 и 2 (рис. 15, а). Значит, десятичная запись числа начинается так:

= 1,… .

Найдём теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; … , пока не получим число, большее двух. Имеем

1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69;
1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25.

Так как 1,42 меньше 2, а 1,52 больше 2, то число больше 1,4, но меньше 1,5 (рис. 15, б). Значит,

= 1,4… .

Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; … . Так как 1,412 = 1,9881, а 1,422 = 2,0164, то число больше 1,41 и меньше 1,42 (рис. 15, в). Значит,

= 1,41… .

Продолжая этот процесс, найдём, что десятичная запись числа начинается так: 1,414… . Поэтому

≈ 1,414.

Рис. 15

Рассмотренный приём позволяет извлекать арифметический квадратный корень из числа с любой точностью. В практических расчётах для нахождения приближённых значений квадратных корней используют специальные таблицы или вычислительную технику.

Для извлечения квадратных корней с помощью калькулятора используют клавишу, на которой помещён знак √. Чтобы извлечь корень из некоторого числа, нужно ввести это число в калькулятор и затем нажать клавишу . На экране высветится при ближённое значение корня.

Пример 1. Найдём

Решение: Введём в калькулятор число 42,5 и нажмём клавишу . На экране высветится число 6,5192024 — приближённое значение . Полученный результат округляют до требуемого числа знаков. Округлим, например, результат до сотых, получим

≈ 6,52.

Упражнения

336. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:

337. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррационального числа .

338. С помощью калькулятора вычислите значение выражения:

339. Сравните числа:

340. Имеет ли смысл выражение:

341. Площадь квадрата равна 18 см2. Найдите с помощью калькулятора его сторону с точностью до 0,1 см.

342. Какой записью выражения удобнее пользоваться для вычисления его значения на калькуляторе:

343. Представьте выражение в удобном для вычисления на калькуляторе виде и найдите его значение (ответ округлите до сотых):

344. Найдите с помощью калькулятора (ответ округлите до сотых):

345. Длина стороны а₈ правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса В, вычисляется по формуле а₈ = R. Найдите а₈ с помощью калькулятора (с точностью до 0,1), если:

     a) R = 9,4 см;
     б) R = 10,5 см.

346. Свободно падающее тело в безвоздушном пространстве проходит s см за t с, где t = — ускорение свободного падения, g ≈ 10 м/с2. Пользуясь калькулятором, вычислите t с точностью до 0,1 с, если:

     a) s = 175;
     б) s = 225.

347. Время t (с) полного колебания маятника вычисляется по формуле t = где l (см) — длина маятника, g ≈ 10 м/с2, π ≈ 3,14. Найдите t с помощью калькулятора с точностью до 0,1 с, если l равно: а) 22; б) 126.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

348. Решите уравнение и найдите с помощью калькулятора приближённые значения его корней (ответ округлите до сотых):

349. Вычислите:

350. Найдите значение выражения x + |x|, если x = 7; 10; 0; -3; -8. Упростите выражение х + |х|, если: а) х ≥ 0; б) х < 0.

351. Сократите дробь:

Глава 2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 6. Квадратное уравнение. Виды квадратных уравнений

Упражнение

6.16.26.36.46.56.66.76.86.96.106.116.126.136.146.156.166.176.186.196.206.216.226.236.246.256.266.276.286.296.306.316.32

§ 7. Решение квадратных уравнений

Упражнение

7.17.27.37.47.57.67.77.87.9

7.107.117.127.137.147.157.167.177.187.197.207.217.227.237.247.257.267.277.287.297.307.317.327.337.347.357.367.377.387.397.407.41

§ 8. Теорема Виета

Упражнение

8.18.28.38.48.58.68.78.88.98.108.118.128.138.148.158.168.178.188.198.208.218.228.238.248.258.278.288.29

8.308.318.328.338.348.358.368.378.388.398.408.418.428.438.448.458.478.48

§ 9. Квадратный трехчлен

Упражнение

9.19.29.39.49.59.69.79.89.99.109.119.129.139.149.159.169.179.189.199.209.219.229.239.249.259.269.279.289.299.309.319.329.339.349.359.369.379.389.399.40

§ 10. Дробно-рациональные уравнения

Упражнение

10.110.2

10.310.410.510.610.710.810.910.1010.1110.1210.1310.1410.1510.1610.1710.1810.1910.2010.2110.2210.2310.2410.2510.2610.2710.2810.2910.3010.3110.3210.3310.3410.3510.3610.3710.3810.3910.4010.4110.4210.4310.4410.4510.4610.4710.48

§11. Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям

Упражнение

11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.14

11.1511.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.3011.3111.3211.3311.3411.3511.3611.3711.3811.3911.4011.4111.42

Упражнение

12.112.212.312.412.512.612.712.812.912.1012.1112.1212.1312.1412.1512.1612.1712.1812.1912.2012.2112.2212.2312.2412.2512.2612.2712.2812.2912.3012.3212.33

12.3412.35