Гдз по алгебре 8 класс ю.н. макарычев углубленный уровень

Общие сведения

Функцией называется некоторая зависимость переменных друг от друга. В некоторых случаях неизвестные величины могут быть выражены системой конкретных значений, интервалами, а также другими функциональными выражениями. Последний класс называется сложным или составным. Различают зависимые и независимые переменные (аргументы). Второй тип может принимать любые значения, кроме тех, которые превращают выражение в неопределенность.

Однако аргументы необходимо также обследовать, поскольку они могут обратить тождество в пустое множество. Одним из таких примеров является функция у = к / х. Ее аргумент x может принимать любые значения, кроме 0. Именно это число превращает уравнение в неопределенность, поскольку в математике существует следующее правило: запрещается делить на 0.

Следует отметить, что существует функция y = k/x и ее график — кривая, имеющая название гипербола. Многие путают его с параболой (в степени 2). Однако она является квадратичной. График строится в системе координат, которая называется декартовой. Кроме того, в математике встречается еще одно уравнение вида y = кх. Ее графиком является прямая.

Прямоугольная система координат

В математике существуют специальные инструменты для построения графиков функций. Одним из них считается распространенная прямоугольная система координат. Она может быть на плоскости и в пространстве. Поскольку y = k/x и y = kx являются элементарными, то для иллюстрации их графиков используется однородная прямоугольная декартовая система координат (рис. 1), элементом которой является точка.

Для декартовой системы на плоскости имеется только две координаты: по взаимно перпендикулярным осям ординат (ОУ) и абсцисс (ОХ). Они пересекаются в некоторой точке О, которая называется началом координат.

Рисунок 1. Прямоугольная декартова система координат (ДСК).

При указании координат нужно учитывать четверть. От нее зависит знак. Оси ординат (игрек) и абсцисс (икс) делят систему на четыре четверти. Они обозначаются римскими цифрами (рис. 1) и имеют такие свойства:

• Первая — I: координаты x и y являются положительными числами, т. е. x > 0 и y > 0.
• II: x < 0 и y > 0.
• III: x < 0 и y < 0.
• IV: x > 0 и y < 0.

Базовыми знаниями являются правильное нахождение координат произвольной точки и их запись. Например, на рисунке 1 нужно найти координаты С. Их нужно искать по следующему алгоритму:

• Опустить из точки перпендикуляры на ОУ и ОХ: b и a соответственно.
• Найти координаты по х и у (размерность шкалы деления осей нужно задавать при построении ДСК): B и С соответственно.
• Записать значения: C(В;С).

Допускается задавать одну шкалу в одних единицах, а вторую — в других. Например, при построении графика y = 100x можно задавать х в виде единичных значений, а вот уже у будут исчисляться сотнями. Чтобы приступать к дальнейшему изучению материала, математики рекомендуют потренироваться в нахождении координат любых точек.

Коэффициент пропорциональности

В математических дисциплинах бывает два типа пропорциональности — прямая и обратная. Они применяются для описания различных процессов, исследования дифференциальных уравнений, физических величин и законов.

Прямой пропорциональностью называется некоторая линейная функция вида y = kx, в которой аргументом является х, а к — коэффициент прямой пропорциональности. Иными словами, произведение к на аргумент x есть величина, определяющая прямую пропорциональную зависимость одной величины от другой. Обратной пропорциональностью называется некоторая функция вида y = k/x, значение аргумента которой никогда не равно нулю.

Графиком линейной функции вида y = kx является прямая, проходящая через начало координат в точке О(0;0). От к зависит угол наклона прямой. Если к > 0, то он является острым, т. е. его значение меньше 90 градусов. При к < 0 угол наклона больше 90 градусов (тупой).

Для обратной пропорциональности, заданной уравнением у = к / х, значение коэффициента влияет на расположение гиперболы в четвертях ДСК. Если к > 0, то она располагается в I и III. Когда к < 0, тогда ее расположение заключено во II и IV четвертях.

Алгебра 8 класс Макарычев8) Функция у = k/x и её график.Упражнения №№ 179 — 196:

Задание № 179. Функция задана формулой у = 8/x. Заполните таблицу.

x	–4		–0,25	2	5	16
y		–4					0,4

Задание № 180. Обратная пропорциональность задана формулой у = 120/x. Заполните таблицу.

x	–1200	–600			75	120		1000
y			–0,5	–1			0,4

Задание № 181. Двигаясь со скоростью v км/ч, поезд проходит расстояние между городами А и В, равное 600 км, за t ч. Запишите формулу, выражающую зависимость: a) v от t; б) t от v.

Задание № 182. Обратная пропорциональность задана формулой у = 10/x. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли графику этой функции точка А (–0,05;–200), В (–0,1; 100), С (400; 0,025), D (500; –0,02).

Задание № 183. Известно, что некоторая функция – обратная пропорциональность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, равному 2, соответствует значение функции, равное 12.

Задание № 184. На рисунке 6 построен график функции, заданной формулой у = 8/x. Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 2; 4; –1; –4; –5;
б) значение х, которому соответствует значение у, равное –4; –2; 8.

Задание № 185. Постройте график функции, заданной формулой у = –8/x. Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 4; 2,5; 1,5; –1; –2,5;
б) значение х, которому соответствует значение у, равное 8; –2.

Задание № 186. Постройте график функции у = 6/x и, используя его, решите уравнение: а) 6/x = х; б) 6/x = –х + 6.

Задание № 187. Решите графически уравнение: а) 8/x = х2; б) 8/x = x3.

Задание № 188. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:
а) k/x = х2, где k > 0;   в) k/x = x3, где k > 0;
б) k/x = х2, где k < 0;   г) k/x = x3, где k < 0.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто – задания б) и в), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функции у = k/x.
3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

Задание № 189. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и b см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см3. Выразите формулой зависимость b от а. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.

Задание № 190. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку:
а) А (8; 0,125);   б) В(2/3; 1 4/₅);   в) С(–25; –0,2).

Задание № 191. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта А в пункт В, от скорости движения. С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч?
б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч?
в) Каково расстояние между пунктами А и В?

Задание № 192. Определите знак числа k, зная, что график функции у = k/x расположен:
а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвёртой координатных четвертях.

Задание № 193. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций:
1) у = –5/x;   2) у = –3/x;   3) у = 3/x;   4) у = 5/x.
Укажите эту функцию.

Задание № 194. .

Задание № 195. (Задача–исследование.) При каких значениях а и b является тождеством равенство (5x + 31)/((x – 5)(x + 2)) = a/(x – 5) + b/(x + 2) ?
а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Задание № 196. .

Вы смотрели: Алгебра 8 класс УМК Макарычев. Упражнения из учебника с ответами и решениями. Глава 1. Рациональные дроби. п.8) Функция у = k/x и её график. Алгебра 8 Макарычев Упражнения 179-196 + ОТВЕТЫ.

Просмотров: 3 157

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C — очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:∫ f(x) — для неопределенного интеграла;b_a∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

$$\int \left(\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int \left(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int \left(\left(x^2+3x+5\right)\cos 2x\right)dx$$ (вычислить интеграл)

$$\int \left(\frac{x+\arccos ^2\left(3x\right)}{\sqrt{1-9x^2}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^{e^3}\left(\frac{1}{x\sqrt{1+\log \left(x\right)}}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left(\sin 6x\sin 7x\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _{+\infty }^{-\infty }\left(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^2\left(x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)dx$$ (вычислить интеграл)

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

Примеры вычислений систем уравнений и неравенств:

$$\begin{cases}x^2-y^2=3 \\ x^4-y^4=15 \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}2x+y+(x-2y)^2=3 \\ x^2-4xy+4y^2=9-3(2x+y) \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}x+y=3 \\ y+z=8 \\ x+2y+3z=23 \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}5x-7>3x-15 \\ 25-4x>29+2x \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

$$\begin{cases}\frac{x^2-9}{x}\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

$$\begin{cases}\frac{x^2+4x+4}{x+2}\le 9 \\ 2x+9>1 \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.

Примеры:

$$x^4+x^2a^2+a^4$$ (разложить на множители)

$$\frac{6x^3-24x^2}{6x^3}$$ (разложить на множители)

$$(5x-2y^2)(5x+2y^2)$$ (раскрыть скобки)

$$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$$ (раскрыть скобки)

$$\frac{a^3-8}{a^2+2a+4}$$ (раскрыть скобки)

$$\frac{\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)}{\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)}+\frac{8a^2}{2a+b}$$ (упростить выражение)

$$\frac{1-\sin ^4\left(x\right)-\cos ^4\left(x\right)}{2\sin ^4\left(x\right)}+1$$ (упростить выражение)

$$\left(\sqrt{a}-\frac{a}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}}$$ (упростить выражение)

Решение уравнений и неравенств

Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной «x». Если есть необходимость найти другую переменную, например «y», то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных «x»,»y»,»z» производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x, y, z.

Примеры решений уравнений и неравенств:

$$\frac{5}{12}+\frac{x}{6}=\frac{x}{4}+\frac{1}{3}$$ (решить уравнение)

$$x^2+12x+36=0$$ (решить уравнение)

$$\left(x+8\right)^2=x^2+8$$ (решить уравнение)

$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)=4$$ (решить уравнение)

$$\frac{19-x^2-4x}{49-x^2}(решить неравенство)
$$\frac{x}{3}+\frac{2x-1}{5}>2x-\frac{1}{15}$$ (решить неравенство)

$$\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+7\right)\left(x+3\right)^3}{x^2+6x+9}\ge 0$$ (решить неравенство)

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

Примеры решений выражений с логарифмами:

$$\log _3\left(5x-1\right)=2$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}=2$$ (решить уравнение)

$$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

Пример решения

Существует некоторый тип задач, в которых нужно исследовать и построить график функции y = k/x. Разобрать решение можно на примере y = 5 / (x — 3). Следует воспользоваться алгоритмом:

• D(5 / (x — 3)) = (-inf;3) U (3;+inf).
• Нули функции. По ОУ: y = 5 / (0 — 3) = — 5/3. По ОХ: 5 / (x — 3) = 0. Если решить уравнения, то у него нет корней.
• Знаковые промежутки: (-inf;3) и (3;+inf).
• Непериодическая.
• Четность: 5 / (-x — 3) = — 5 / (x + 3). Нечетная: — 5 / (x + 3) не равно 5 / (x — 3).
• Экстремумы: y’ = [5 / (x — 3)] = — 5 / (x — 3)^2 = 0. Уравнение не имеет решений, а это значит, что максимума и минимума нет.
• Не является монотонной.

Чтобы построить график функции y = k / x + 3 (к = 5), нужно составить таблицу для его построения.

х	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
у	-5/7	-5/6	-1	-1,2	-5/3	-2,5	-5	нет	5

Таблица 1. Зависимость значения функции от ее аргумента.

После составления таблицы нужно начертить ДСК. На ней следует отмечать точки, а затем их плавно соединить (рис. 2).

Рисунок 2. График обратной пропорциональности y = k / x — 3 при к = 5.

Таким образом, графиком обратной пропорциональности является гипербола, а прямой пропорциональности — прямая. Поведение функции исследуется по специальному алгоритму, который позволяет легко построить ее график и выяснить некоторые свойства.

Вычисление производных

Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:f'(x) — производная первого порядка;f»(x) — производная второго порядка;f»'(x) — производная третьего порядка.fn(x) — производная любого n-о порядка.

Примеры дифференцирования:

$$f’\left(\sqrt{x^2-3x+17}\right)$$ (найти производную функции)

$$f’\left(\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)$$ (дифференцировать функцию)

$$f’\left(\arctan \left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\right)$$ (вычислить производную)

$$f»\left(x^2\cos 2x\right)$$ (производная второго порядка)

$$f»\left(\log \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$$ (вычислить производную второго порядка)

$$f»’\left(\left(2x+1\right)^3\left(x-1\right)\right)$$ (дифференцировать функцию третьего порядка)

$$f^7\left(e^{3x}\sin 2x\right)$$ (вычислить производную седьмого порядка)

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

Примеры операций с комплексными числами:

$$\frac{\left(1+i\right)\left(3+i\right)}{3-i}-\frac{\left(1-i\right)\left(3-i\right)}{3+i}$$ (найти разность комплексных чисел)

$$\left(1-i\right)^3+\left(1+i\right)^3$$ (найти сумму комплексных чисел)

$$\left(-2+3i\right)\left(5+4i\right)$$ (найти произведение комплексных чисел)

$$\frac{-5-6i}{-6i}$$ (найти частное комплексных чисел)

$$\left(-2+2i\right)^9$$ (выполнить возведение комплексного числа в степень)

$$\frac{\left(-7-8i\right)i^7}{\left(4-5i\right)\left(-3+i\right)}-\frac{4+4i}{-2-5i}$$ (выполнить действия над комплексными числами)

Информация о свойствах

В некоторых источниках описываются свойства y = k/x и ее график. Следует отметить, что они получаются при исследовании последней. Существует два состояния. При первом коэффициент пропорциональности больше 0 (k > 0). Следовательно, она обладает такими свойствами:

• График: кривая-гипербола.
• D(y) = (-inf;0) U (0;+inf).
• Если x > 0, то y > 0.
• При отрицательных величинах аргумента функция принимает отрицательные значения.
• Она убывает на интервалах: (-inf;0) и (0;+inf).
• Точек экстремума нет.
• Непрерывна, кроме точки х = 0.
• Непериодическая.
• Нечетная.

Когда к < 0, тогда ее свойства отличаются только в 3 и 4 пунктах: y > 0 при отрицательных значениях аргумента, а y < 0 при x > 0. Функция y = kx обладает такими свойствами (k > 0):

• График: прямая.
• D(y) = (-inf;+inf).
• Если x > 0, то y > 0. Когда x < 0, то y < 0.
• Всегда возрастает по всей D(y).
• Минимумов и максимумов нет.
• Непрерывна.
• Нечетная.
• Непериодическая.

При k < 0 она обладает такими же свойствами, но есть такие отличия в пункте 3: y > 0 при x < 0. Следует отметить, что в высшей математике уравнения гиперболы отличаются. Каноническая форма имеет такой вид: [x^2 / a] — [у^2 / b] = 1 (a и b — некоторые целые числа).

Вычисление пределов функций

Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.

Примеры решений пределов:

$$\lim _{x\to -12}\left(\frac{x^3+1728}{x^2+18x+72}\right)$$ (найти предел функции)

$$\lim _{x\to 0}\left(\left(1-2x^2\right)^{\cot ^2\left(x\right)}\right)$$ (найти предел функции)

$$\lim _{x\to -1}\left(\frac{2x^2-3x-5}{1+x}\right)$$ (решить предел функции)

$$\lim _{x\to 0}\left(\frac{e^{\sin \left(4x\right)}-e^{\sin x}}{\log \left(1+4x\right)}\right)$$ (вычислить предел функции)

$$\lim _{x\to \infty }\left(\sqrt{3x^2+\sqrt{x^4+4x^3}}-2x\right)$$ (вычислить предел)

$$\lim _{x\to 1}\left(\frac{\left(2x^2+3\right)^{3x}}{2x^2-4^{\left(x+1\right)}}\right)$$ (решить предел функции)