Алгебра 8 мордкович (упр. 21.1

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).
– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.
График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

\(y=x^2-10x+25-4\)
\(y=x^2-10x+21\)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).
Получается \(y=-2(x^2-4x+4)+4=\)\(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4\).
\(f(6)=-2\cdot 6^2+8\cdot 6-4=-72+48-4=-28\)

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.Пример:
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Пример: \(A(-4;5)\), \(B(-5;5)\), \(C(-6;3)\).

\(\begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\\5=a(-5)^2+b(-5)+c\\3=a(-6)^2+b(-6)+c \end{cases}\)
Решаем систему.Пример:

\(\begin{cases}5=16a-4b+c\\5=25a-5b+c\\3=36a-6b+c \end{cases}\)

Вычтем из второго уравнения первое:

\(0=9a-b\)
\(b=9a\)

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

\(\begin{cases}5=16a-36a+c\\5=25a-45a+c\\3=36a-54a+c \end{cases}\)
\(\begin{cases}5=-20a+c\\5=-20a+c\\3=-18a+c \end{cases}\)

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

\(2=-2a\)
\(a=-1\)

Найдем \(b\):

\(b=-9\)

Подставим в первое уравнение \(a\):

\(5=20+c\)
\(c=-15\).

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

\(\begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\\2=a+b+4 \end{cases}\)

\(\begin{cases}8=a-b+4\\2=a+b+4 \end{cases}\)

\(\begin{cases}4=a-b\\-2=a+b \end{cases}\)

Сложим 2 уравнения:

\(2=2a\)
\(a=1\)

Подставим во второе уравнение:

\(-2=1+b\)
\(b=-3\)

Получается:

\(g(x)=x^2-3x+4\)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

\(-3x+13=x^2-3x+4\)
\(x^2-9=0\)
\(x=±3\)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

\(f(-3)=-3\cdot (-3)+13\)
\(f(-3)=9+13\)
\(f(-3)=22\)

Ответ: \(22\).

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a<0\), то ветви параболы направлены вниз.

— Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

— Аналогично с \(a<-1\), только график вытянут вниз.

— Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте.

— Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз.
Парабола пересекает ось y в точке \(c\).
\(b\) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью \(x_в\) — абсциссы (икса) вершины параболы:

\(x_в=-\frac{b}{2a}\)
\(b=-x_в\cdot 2a\)

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
Ветви параболы направлены вниз – значит \(a<0\). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит \(a=-1\).