Упражнение 609

Как использовать этот калькулятор рациональных уравнений с пошаговыми инструкциями

Преимущество нашего калькулятора в том, что он выполнит расчет и покажет вам шаги, что наверняка может пригодиться. Главное, однако, что не все рациональные уравнения будут иметь решение, которое можно найти элементарными методами.

Решение уравнений

Иногда требуется немного проницательности, но наш калькулятор избавит вас от догадок.

Пример: простое рациональное уравнение

Решите следующее уравнение: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 2\)

Отвечать:

Нам дано следующее уравнение

Мы используем замену: \(u = \frac{1}{x}\), поэтому уравнение принимает вид:

Это квадратное уравнение можно записать как \(u^2 + u — 2 = (u-1)(u+2) = 0\)

что непосредственно приводит к решениям \(u = 1, u = -2\). Но поскольку мы знаем, что \(u = \frac{1}{x}\), мы находим следующее решение исходного уравнения:

Следовательно, решение \(x\) для данного уравнения приводит к решениям \(x=-\frac{1}{2},\,\,x=1\).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число в десятичную систему счисления.Решение: = = = Ответ: =

2. Перевести число в десятичную систему счисления.Решение: = = = Ответ: =

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число в восьмиричную систему счисления.Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421Проверка: = = = , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.Ответ: =

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью. Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число в двоичную систему счисления.Решение: (0 — целая часть, которая станет первой цифрой результата), (0 — вторая цифра результата), (1 — третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).Ответ: =

Решение рациональных уравнений

Используя этот калькулятор с шагами, вы сможете легко работать с решением рациональных уравнений. Это работает так: вам просто нужно ввести рациональное уравнение в поле выше. Это уравнение может быть таким простым, как «x^(1/2) = x^(1/4)», или более сложным, если вам нужно.

Затем, когда вы закончите вводить или вставлять нужное уравнение, вы можете нажать кнопку «Решить», которая

решить уравнение

и покажет все этапы пути.

Рациональные уравнения, как и другие типы нелинейных уравнений, в целом будет трудно решить, если вы вообще сможете их решить. Обычно только определенные

Рациональные уравнения

, с определенными структурами, можно будет решить явно с помощью некоторых стандартных приемов, например, с помощью подстановок.

Больше калькуляторов уравнений

Большинство

Калькуляторы уравнений

будут использовать конкретные структуры, чтобы попытаться найти точное решение, но эти усилия не всегда будут успешными.

Но, в конечном счете, в целом мало что можно сделать. Единственное, что мы можем сделать, это

Решите линейные уравнения

и

решать полиномиальные уравнения

(в некоторой степени только

квадратные уравнения

действительно легко решить).

Итак, любая стратегия решения уравнения связана с некоторым его преобразованием с использованием некоторых

алгебраическая редукция

на те немногие типы уравнений, которые мы действительно умеем решать. И в основном все, что мы можем сделать, это попробовать несколько удачных замен, если вам повезет.

Алгебра

25. Решение дробных рациональных уравнений

В уравнениях

левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным. Так, уравнение 2х + 5 = 3(8 — х) целое, а уравнения

дробные рациональные.

Пример 1. Решим целое уравнение

Решение: Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т. е. на число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей:

3(х — 1) + 4х = 5х.

Решив его, найдём, что х = 1,5.

Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение

(1)

Решение: По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на выражение х(х — 5). Получим целое уравнение

(2)

Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1). Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение

Его корни — числа -2 и 5.

Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями уравнения (1). При х = —2 общий знаменатель х(х — 5) не обращается в нуль. Значит, число -2 — корень уравнения (1). При х = 5 общий знаменатель обращается в нуль и выражения и теряют смысл. Поэтому число 5 не является корнем уравнения (1).

Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.

Вообще при решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом: 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; 2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель; 3) решить получившееся целое уравнение; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 3. Решим уравнение .

Решение: Имеем .

Общий знаменатель дробей х(x — 2)(х + 2).

Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

2х — (х + 2) = (4 — х) (х — 2).

Отсюда

Если х = 2, то х (х — 2) (х + 2) = 0; если х = 3, то х (х — 2) (х + 2) ≠ 0. Значит, корнем исходного уравнения является число 3.

Ответ: 3.

Упражнения

600. Найдите корни уравнения:

601. Решите уравнение:

602. Найдите корни уравнения:

603. Решите уравнение:

604. При каком значении х:

     а) значение функции у = равно 5; -3; 0; 2;
     б) значение функции у = равно -10; 0; -5?

605. Найдите корни уравнения:

606. Найдите значение переменной у, при котором:

     а) сумма дробей равна 2;
     б) разность дробей равна 3;
     в) сумма дробей равна их произведению;
     г) разность дробей равна их произведению.

607. Решите уравнение:

608. Решите уравнение:

609. Найдите корни уравнения:

610. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

     1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.
     2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

611. Решите графически уравнение:

612. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение = ах + b, где а и b — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа а и b.

613. Найдите значение выражения х2 — 2ху + у2 при х = 3 + , у = 3 — .

614. Принадлежат ли графику функции у = х2 + 2х + 5 точки А (1,5; 7,25), B(-3,2; 9) и С( — 1; 7)?

615. Упростите выражение:

616. Сравните с нулём значение выражения: