Каковы этапы упрощения выражений
- Шаг 1: Определите выражение, которое нужно упростить. Правильное выражение должно содержать числа и символы типа ‘x’ (которые представляют числа)
- Шаг 2: Проверьте согласованность выражения. То есть, убедитесь, что любая открывающая скобка имеет закрывающую скобку, и что все операции завершены
- Шаг 3: Начните изнутри наружу, используя PEMDAS в качестве руководящего правила. Сначала упростите более простые термины
Говоря о том, что вы должны проверить «полноту» операций, я имею в виду, что необходимо убедиться, что все операции имеют все свои компоненты. Например, при сложении вам нужны два числа и знак ‘+’.
Таким образом, что-то вроде ‘3+4’ является полной операцией, но в чем-то вроде ‘3+’ или ‘+3’ не хватает цифры. Или что-то вроде ‘2 3’ не имеет ‘+’, поэтому PEMDAS не может определить, какую операцию вы выполняете.
Существуют некоторые паллиативные правила, такие как
неявное умножение
, который будет считать, что в отсутствие операции пробел будет рассматриваться как ‘*’, так что тогда ‘2 3’ будет рассматриваться как ‘2*3’
В случае с нашим
упростить калькулятор
если выражение неполное или недействительное, оно сообщит вам об этом, чтобы вы могли его исправить.
Зачем нужно упрощать выражения?
Многие волшебные вещи в математике спрятаны на виду. Выражение может ни о чем вам не говорить, но после упрощения вы можете внезапно увидеть все ясно. Кроме того, упрощение — это как устранение беспорядка, а мы все этого хотим, верно?
Кроме того, упрощение выражений — это способ сэкономить работу, потому что часто нужно получить один результат, а затем подставить его в другое выражение и продолжать расширять этот процесс.
Таким образом, если у вас есть начальное выражение, которое вы не упростили, вы будете иметь ненужный багаж для последующих операций. Это может стать большой проблемой, если у вас есть потенциальный
упрощение тригонометрии
например,
Если вы пропустите этот \(\left \sin^2 x + \cos^2 x \right)^3 = 1^3 = 1\), то в итоге получите неоправданно долгий срок, который можно значительно упростить.
Учитывая это, всегда старайтесь
упрощать дроби
, а также
упрощайте алгебраические выражения
в целом, так как это обычно приводит к экономии времени в дальнейшем.
Пример: упростить выражение
Упростите следующее числовое выражение: \(\frac{2}{3} + \frac{5}{4} — \left(\frac{5}{6}\right)\cdot \left(\frac{8}{7}\right)\)
Отвечать:
Нам нужно упростить следующее выражение: \(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{7}\).
Получается следующий расчет:
\( \displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{ 5}{ 6} \cdot \frac{ 8}{ 7}\)
Start multiplying all the numerators and all the denominators, and we get \(\displaystyle-\frac{ 5}{ 6} \times \frac{ 8}{ 7}= \frac{ -5 \times 8}{ 6 \times 7} \)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}+\frac{\left(\left(-5\right)\cdot 8\right)}{6\cdot 7}\)
Factoring out the number \(\displaystyle 2\) in the numerator and denominator of \(\displaystyle \frac{ -5 \times 8}{ 6 \times 7}\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{5\cdot 4}{3\cdot 7}\)
After canceling out the common factors from the top and bottom
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{20}{21}\)
Amplifying in order to get the common denominator 84
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{28}{28}+\frac{5}{4}\cdot\frac{21}{21}-\frac{20}{21}\cdot\frac{4}{4}\)
We need to use the common denominator: 84
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{2\cdot 28+5\cdot 21-20\cdot 4}{84}\)
Expanding each term in the numerator: \(2 \times 28+5 \times 21-20 \times 4 = 56+105-80\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{56+105-80}{84}\)
Operating the terms in the numerator
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{81}{84}\)
We can factor out 3 for both the numerator and denominator.
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{3\cdot 27}{3\cdot 28}\)
Now we cancel 3 out from the numerator and denominator.
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{27}{28}\)
что завершает процесс упрощения.
Что делать, если знаменатели разные
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Резюме: общая схема вычислений
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
- Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
- Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
- Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
- Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.
- Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
- Приведение дробей к общему знаменателю
- Тест к уроку «Десятичные дроби» (1 вариант)
- Метод узлов в задаче B5
- Задача B5: площадь кольца
- Сфера, вписанная в куб
Калькулятор упрощения выражений
Этот калькулятор позволит вам упростить предоставленные вами выражения, показывая все шаги. Вам необходимо ввести правильное числовое или символьное выражение. Например, допустимым числовым выражением будет что-то вроде 1/3+1/4*3^2, а допустимым символьным выражением может быть что-то вроде x^2 — 2x + 3/4 x +2′, или что-то вроде ‘(x^2-1)(x-1)’, просто для примера.
Как только вы введете правильное выражение, все, что вам нужно сделать, это нажать кнопку «Рассчитать», которая находится прямо под ним, и вам будут показаны все соответствующие этапы процесса.
Некоторые упрощения легче провести, чем другие. Некоторые выражения легко поддаются упрощению, другие — нет. Для упрощения некоторых алгебраических выражений потребуются длительные и трудоемкие действия, а другие просто невозможно упростить.
Что делать, если у дроби есть целая часть
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
- Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
- Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
- Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
Как упростить?
Упрощение — это не обязательно простой процесс, который заключается в группировке терминов с целью сокращения данного выражения. Однако процесс группировки не является произвольным и подчиняется некоторым строгим правилам и ограничениям, которые можно свести к 6 буквам:
PEMDAS
. У нас есть:
P = Круглые Скобки
E = Экспоненты
M = Умножение
D = Подразделение
A = Добавление
S = Вычитание
Итак, выражение состоит из элементов, таких как числа или неизвестные переменные, например ‘x’, которые представляют число, и различных операций, которые их объединяют. PEMDAS показывает нам, какие операции следует выполнять в первую очередь. То есть сначала вы работаете со скобками, затем с экспонентами, потом выполняете умножение и так далее.
Как добраться до простейшей формы?
Наш
Калькулятор упрощения выражений
будут стремиться к тому, чтобы обеспечить простейшую форму выражения. Иногда это ясная задача, но иногда нет.
Итак, начнем с того, что формул для упрощения выражения не существует, это скорее процесс. Кроме того, необходимо четко понимать, что мы имеем в виду под словами
простейшая форма
. Например, рассмотрим это выражение:
Можно утверждать, что это самая простая форма. Почему? Потому что на первый взгляд нет очевидных способов группировать эти термины дальше. Но потом кто-то может сказать: «Подождите, у меня есть вот это»
Итак, что же является самой простой формой? \(x^2 + 3x + 2\) или \((x+2)(x+1)\)? В этом калькуляторе мы идем путем расширения и упрощения, поэтому «простейшей формой» будет \(x^2 + 3x + 2\).