Гдз видео по алгебре за 8 класс учебник макарычев

Алгебра макарычев 8 класс 2013

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 

Пример. Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\).

Решение:

\(\frac{x^2-9}{x-3}\)\(=\)

               

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

\(=\) \(\frac{x^2-3^2}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\)

 

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

\(=x+3\)

 

Готов ответ.

Ответ: \(x+3\).

Пример.Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\). Решение:

\(25x^4-m^{10} t^6\)

               

Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^{nm}\) и \(a^n b^n=(ab)^n\).

\(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=\)

 

Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).

\(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )\)

 

Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) . Решение:

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)Решение:

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ

Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Решение:

\((1+5x)^2-12x-1= \)

               

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…

\(=1+10x+25x^2-12x-1=\)

 

…и приведем подобные слагаемые.

\(=25x^2-2x\)

 

Готово.

Ответ: \(25x^2-2x\).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Решение:

\((368)^2+2·368·132+(132)^2=\)

               

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего

Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=(368+132)^2=\)

 

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

\(=(500)^2=250 000.\)

 

Готово.

Ответ: \(250 000\).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
ГДЗ 8 класс
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: