Калькулятор масштабов

Системы координат в пространстве. Общее уравнение прямой линии.

1)
Декартовы координаты в пространстве
задаются с помощью точки начала координат
и трёх взаимно-перпендикулярных
направленных прямых. Прямые занумерованы,
задан единичный отрезок. Положение
любой точки в пространстве однозначно
определено тремя числами.

2)
Цилиндрическая система координат в
пространстве – “родственница” полярной
системы координат на плоскости. Чтобы
получить цилиндрическую систему надо
на плоскости ввести полярную систему
координат и добавить вертикальную
координатную ось. Т.о., координаты точки
– три числа: первые два – полярные
координаты проекции нашей точки на
плоскость, третье – величина проекции
точки на вертикальную ось.

3)
Сферическая система координат вводится
следующим образом: фиксируем плоскость,
на ней — точку О начала координат, а из
точки О выпускаем луч, перпендикулярный
плоскости, и луч, лежащий в плоскости.
Положение точки М задаётся тремя числами:
первое – расстояние от начала координат
О до точки М; второе – угол между проекцией
отрезка ОМ на плоскость и лежащим в
плоскости лучом; третье – угол между
перпендикулярным плоскости лучом и
отрезком ОМ.

Прямая
в пространстве может быть задана также
как пересечение двух плоскостей, если
плоскости не параллельны:

(на плоскости

Особенности расчетов

Итак, вам нужно представить какой-то рисунок, план или деталь. Как сделать это с наименьшими затратами времени и наиболее точно? Для этого необходимо: проект дома, изображение построек на карте или плане, чертеж деталей, калькулятор, принадлежности для черчения.

Удобнее всего чертить объекты, объемные детали или предметы, используя отношение 1:1. Это означает, что метр реальной местности пропорционален сантиметру на рисунке. Но чаще всего возникает необходимость применить масштабы другого порядка, такие как 1:2,1:10 и так далее. Это происходит в том случае, если территория большая, а изобразить ее надо компактно. Если объект совсем крошечный, но при производстве важны даже самые мелкие детали, его изображают используя масштаб 10:1 или даже больше.

Масштаб

Масштабом называют отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности.

Допустим, что расстояние от дома до школы составляет 8 км. Попробуем нарисовать план местности, где будут указаны дом, школа и расстояние между ними. Но изобразить на бумаге расстояние, равное 8 км мы не можем, поскольку оно довольно велико. Но зато мы можем уменьшить это расстояние в несколько раз так, чтобы оно уместилось на бумаге.

Пусть километры на местности на нашем плане будут выражаться в сантиметрах. Переведем 8 километров в сантиметры, получим 800 000 сантиметров.

Уменьшим 800 000 см в сто тысяч раз:

800 000 см : 100 000 см = 8 см

8 см это расстояние от дома до школы, уменьшенное в сто тысяч раз. Теперь без труда можно нарисовать на бумаге дом и школу, расстояние между которыми будет 8 см.

Эти 8 см относятся к реальным 800 000 см. Так и запишем с помощью отношения:

8 : 800 000

Одно из свойств отношения гласит, что отношение не меняется если его члены умножить или разделить на одно и то же число.

В целях упрощения отношения 8 : 800 000 оба его члена можно разделить на 8. Тогда получим отношение 1 : 100 000. Это отношение и назовём масштабом. Данное отношение показывает, что один сантиметр на плане относится (или соответствует) ста тысячам сантиметров на местности.

Поэтому на нашем рисунке необходимо указать, что план составлен в масштабе 1 : 100 000

Примеры:

1 см на плане относится к 100 000 см на местности;
2 см на плане относится к 200000 см на местности;
3 см на плане относится к 300000 на местности и т.д.

К любой карте или плану указывается в каком масштабе они сделаны. Этот масштаб позволяет определять реальное расстояние между объектами.

Так, наш план составлен в масштабе 1 : 100 000. На этом плане расстояние между домом и школой составляет 8 см. Чтобы вычислить реальное расстояние между домом и школой, нужно 8 см увеличить в 100 000 раз. Иными словами, умножить 8 см на 100 000

8 см × 100 000 = 800 000 см

Получаем 800 000 см или 8 км, если перевести сантиметры в километры.

Допустим, что между домом и школой располагается дерево. На плане расстояние между школой и этим деревом составляет 4 см.

Тогда реальное расстояние между домом и деревом будет 4 см × 100 000 = 400 000 см или 4 км.

Расстояние на местности можно определять с помощью пропорции. В нашем примере расстояние между домом и школой будет вычисляться с помощью следующей пропорции:

Эту пропорцию можно прочитать так:

1 см на плане так относится к 100000 см на местности, как 8 см на плане относятся к x см на местности.

Из этой пропорции узнаём, что значение x равно 800000 см.

Пример 2. На карте расстояние между двумя городами составляет 8,5 см. Определить реальное расстояние между городами, если карта составлена в масштабе 1 : 1 000 000.

Решение

Масштаб 1 : 1 000 000 указывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Тогда 8,5 см будут соответствовать x см на местности. Составим пропорцию 1 к 1000000 как 8,5 к x

В 1 км содержится 100000 см. Тогда в 8 500 000 см будет 

Либо можно рассуждать так. Расстояние на карте и расстояние на местности — прямо пропорциональные величины. При увеличении расстояния на карте в несколько раз, расстояние на местности увеличится во столько же раз. Тогда пропорция примет следующий вид. Первое отношение будет показывать во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте:

Второе отношение покажет, что расстояние на местности во столько же раз больше, чем 8,5 см на карте:

Отсюда x равен 8 500 000 см или 85 км.

Задача 3. Длина реки Невы 74 км. Чему равняется ее длина на карте, масштаб которой 1 : 2 000 000

Решение

Масштаб 1 : 2000000 говорит о том, что 1 см на карте соответствует 2 000 000 см на местности.

А 74 км на это 74 × 100 000 = 7 400 000 см на местности. Уменьшив 7 400 000 в 2 000 000, мы определим длину реки Невы на карте

7 400 000 : 2 000 000 = 3,7 см

Значит на карте, масштаб которой 1 : 2 000 000 длина реки Невы составляет 3,7 см.

Запишем решение с помощью пропорции. Первое отношение будет показывать сколько раз длина на карте меньше длины на местности:

Второе отношение будет показывать, что 74 км (7 400 000 см) уменьшились во столько же раз:

Отсюда находим x равный 3,7 см

Виды

Существует три вида отображения масштаба:

1. Численный масштаб. Он записывается, как деление. Первая цифра — делитель. Она всегда представлена единицей, а вторая цифра, называемая в математической функции, делимым — число, показывающее, во сколько раз уменьшили размеры для изображения на карте. Например, 1:100 000 означает, что расстояния на плане местности уменьшены в 100 000 раз по сравнению с их реальной протяженностью. 1 см на карте — это 100 000 см или 1 км на местности. Чем меньше число в делителе, тем меньше увеличение объекта, и, следовательно, тем крупнее масштабируемая территория или объект. Увеличенное масштабирование допускается для относительно небольших объектов, и позволяет изобразить их крупными, а карту сделать более наглядной. Оно используется в составлении топографических карт для изображения небольших территорий, в проектировании строительных объектов, интерьерных или ландшафтных дизайнов.
2. Именованный масштаб получил свое название потому, что он записывается словами и по сути расшифровывает значение первой записи. Именованный масштаб показывает, сколько метров или километров соответствует одному сантиметру на плане. Например, карта выполнена в масштабе: в 1 см — 300 м. Это означает, что расстояние 300 м на местности соответствует 1 см на карте.

Масштаб	Как записывается
Численный	1:10 000
Именованный	В 1 см 10 000 см — 100 м

3. Графический масштаб. Этот вид масштабирования делится на два подвида: линейный и поперечный.

Линейный подтип изображается как линия, разделенная на равные отрезки. Эта часть называется основанием. Слева от нуля каждая часть делится на более мелкие отрезки для повышения точности измерений.

При чтении линейного масштаба используется пропорциональный циркуль. С его помощью измеряется на карте отрезок между нужными объектами, и переносится на линейный масштаб.

Второй вид графического масштаба — поперечный.

Он используется для составления более подробных топографических планов. Поперечный масштаб представляет собой сетку, в которой пересекаются горизонтальные, вертикальные и наклонные линии. При помощи циркуля определяют длину рек, горных хребтов и дорог.

Для более полного представления о размерах территории, изображенной на карте, на нее наносят все три варианта масштабирования.

Вид	Как выглядит	Что показывает	Для чего применяется
Численный	В виде дроби	Величину	Для определения величины
Именованный	Слова	Во сколько раз уменьшены размеры	Для краткой записи
Линейный	Деления на отрезки	Расстояния на местности, соответствующие делениям	Для определения расстояния циркулем

Масштаб карты указывается в ее углу, в легенде. Здесь под легендой подразумевается список используемых обозначений и их толкование.

Ряд равных отношений

Иногда бывает удобно вместо различных букв употреблять для обозначения чисел одну и ту же букву, снабженную дополнительными значками — индексами. Например Эти обозначения читаются так: икс нулевое, икс первое, икс второе, икс третье, … , икс энное.

Основное свойство ряда равных отношений

Пусть имеется ряд равных отношений:

Обозначим общее значение всех этих отношений буквой k. Тогда

Отсюда

Складывая левые и правые части этих равенств, получим:

или

или

т.е.

Итак, доказано следующее:

если несколько отношений равны друг другу, то отношение суммы их предыдущих членов к сумме последующих равно каждому из этих отношений.

Пример:

Пусть длины сторон одного многоугольника (рис. 53) пропорциональны длинам сторон другого многоугольника, т. е.

По свойству ряда равных отношений получим:

или

где Р и Q периметры многоугольников.

Инструкция для измерений и вычислений

Тщательно исследуйте план и определите здание, которым будете заниматься.

1. Сделайте замеры строения на плане и зафиксируйте результат.
2. Измерьте объект в реальности. Для этого понадобится рулетка или сантиметровая лента. Чтобы измерения получились достоверными лучше взять с собой помощника. Если такой возможности нет используйте деревянные колышки. Расставьте колышки в землю так, чтобы исходная отметка на рулетке или измерительной ленте совпадала с начальной точкой измерений.
3. Произведите расчет: удобнее всего это сделать с помощью простейших математических вычислений.

К примеру, стена хозяйственной постройки реальной протяженностью 4 метра занимает на плане 2 см. Переводим эту величину в сантиметры и получаем, что 2 см на рисунке отвечает 400 см в реальности. При этом используем простое деление:

400:2= 200

Значит, 1 см изображенный на карте — это 2 м на территории.

Где применяется масштаб

Наибольшее распространение масштаб получил в таких сферах деятельности, как география, геодезия, картография. Он используется при составлении плана или карты местности, когда невозможно изобразить реальные размеры объектов. Масштабом пользуются также при изготовлении уменьшенных копий зданий (макетов), в проектировании.

Но масштабирование это не всегда означает уменьшение. К примеру, для изображения микромира необходимо, наоборот, увеличивать размеры для большей наглядности. Так увеличение применяется, чтобы показать, как устроен атом, живая клетка или как выглядят микроорганизмы. Масштабирование с целью увеличения записывается примерно так: 2:1; 5:1; 50:1; 100:1.

В географии

Впервые с понятием «масштаб» учащиеся сталкиваются на занятиях по географии, когда начинают знакомиться с картами.

В зависимости от изображаемых площадей все карты делятся на три вида:

• мелкомасштабные или обзорные (менее 1:1 000 000);
• среднемасштабные или обзорно-топографические (от 1:200 000 до 1:1 000 000);
• крупномасштабные или топографические (от 1:200 000 и более).

При составлении топографического плана используется масштаб до 1:5000.

В математике

На занятиях по математике учащиеся решают задачи по определению масштаба карты. Но перед этим учитель предлагает им вспомнить о том, что такое пропорции и отношения чисел. Эти знания пригодятся, так как масштаб представляет собой действие деления (или дробь), а его расчет выполняется через пропорцию.

Пример задачи 1: Расстояние между двумя населенными пунктами на карте равняется 6 см. Необходимо вычислить это расстояние на местности при условии, что масштаб равен 1:10 000.

Для решения составляется пропорция:

	На карте	На местности
Масштаб, см	1	10 000
Расстояние, см	6	Х

Х = 6 × 10 000 = 60 000 см = 600 м.

Ответ: 600 м.

Пример задачи 2: Расстояние между пунктом А и пунктом В составляет 600 км. Какой масштаб необходимо применить, чтобы на карте это расстояние равнялось 15 см?

Для начала переводим расстояние в см: 600 км = 60000000 см.

60000000 : 15 = 4000000

Ответ: масштаб 1:4000000.

В фотографии

Фотографы понимают под этим понятием отношение линейных размеров объекта к размерам его проекции на фотопленке или матрице. В фотосъемке используется широкий диапазон масштабов: от самых крупных до самых мелких.

Макрофотография — это съемка в размере 1 к 1 и крупнее. Но вследствие появления компактных цифровых фотоаппаратов, а также по причине совершенствования камер мобильных телефонов этот термин стал применяться по отношению к съемке объектов, расположенных на расстоянии менее 50 см от объектива.

Важную роль масштаб играет в композиции фотоизображения. Эта категория способна приукрасить произведение искусства, или, напротив, сделать его тяжелым для восприятия. Его необходимо правильно подобрать, избежать ошибок, и тогда сохранится целостность композиции и задумка автора.

Масштабность основывается на сравнении реальных размеров объекта с нашими представлениями о его величине. Например, велосипед, стоящий на дороге среди машин, кажется маленьким. Но если занести его в квартиру, то он будет восприниматься как большой объект.

В черчении

При проектировании и работе с чертежами применяются масштабы, утвержденные ГОСТом. В этой области выделяют 5 видов этой масштабирования:

1. Натуральный (1:1). Он удобен в использовании и позволяет легко сориентироваться в размерах.
2. Масштаб уменьшения (1:2, 1:25, 1:100 и др.). Применяется в тех случаях, когда необходимо изобразить большую деталь или производственный станок.
3. Особый масштаб уменьшения. Он используется при проектировании крупных объектов (небоскребов, мостов). Такой тип масштаба вычисляют по формуле: 1:10n, 1:(2×10n), где n — целое число.
4. Масштаб увеличения (2:1, 4:1, 10:1 и др.). Используется для наглядного изображения мелких деталей.
5. Особый масштаб увеличения. Вычисляется по обратной формуле: (10× n):1, где n также является целым числом. Применяется для деталей самого маленького и даже микроскопического размера.

Эта величина обязательно прописывается на каждом чертеже в отведенном для этого разделе основной надписи. Если на одном листе изображены чертежи, выполненные в разных масштабах, то значение прописывается отдельно под каждым. Даже если проект выполняется в естественную величину, то есть 1 к 1, то масштаб все равно на чертеже должен быть указан.

Определение пропорции

Руководитель детского хореографического кружка, для пошива костюмов своим воспитанникам, приобрел в магазине тканей 10 метров шелка, на сумму 420 рублей. Но купленной ткани не хватило. Какую сумму нужно потратить, чтобы купить еще 5 метров такого же материала?

Данную задачу можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них подробно.

1 способ.

По условию нам известно, что 10 метров материала, стоит 420 рублей. Отсюда можно узнать цену одного метра. Для этого, общую сумму(420) необходимо разделить на количество приобретенной ткани(10):

420 : 10 = 42 рубля стоит один метр ткани.

Зная цену одного метра ткани, можно узнать стоимость пяти метров. Для этого стоимость одного метра (42), умножаем на количество таких метров (5):

42 × 5 = 210 рублей необходимо, для покупки 5 метров материала.

Этот способ известен еще из начальной школы. Но далеко не все задачи такого вида можно решить первым способом.

 В этом случае используют второй способ решения задач такого вида.

2 способ.

Вначале, запишем краткое условие.

10м. – 420 р.

 5м. – ? р.

Теперь нужно подумать. В нашем случае, количество материала уменьшается, следовательно,уменьшается стоимость покупки. Обозначим цену пяти метров материала – х.

Имеем,

10 – 420.

  5 – х.

Для решения задач такого вида в математике существует специальное определение – «Пропорция»

Используя рассмотренное определение, подумаем, как составить пропорцию из чисел? Формировать пропорцию будем, опираясь на краткую запись условия задачи – десять относится к пяти как четыреста двадцать к иксу:

10/5 = 420/х.

Пропорция составлена и возникает вопрос, как вычислить неизвестный компонент?

Для вычисления неизвестной составляющей пропорции существует правило, которое называется «Основное свойство пропорции»:

Определим крайние и средние члены в составленном равенстве:

Крайними членами пропорции будут числа 10, х.

Средними членами пропорции будут числа 5, 420.

Запишем равенство произведений крайних и средних членов в составленной пропорции:

10/5 = 420/х;

10х = 5 × 420 – высчитываем произведение;

10х = 2100 – решаем как обычное уравнение;

х = 2100 : 10;

х = 210.

Выходит, 210 рублей необходимо для приобретения пяти метров материала.

Вот так на примере решения задачи мы разобрали новое определение. Запомните, пожалуйста, все правила и поиск неизвестного компонента в любых отношениях и пропорциях будет для вас только развлечением!

Продолжаем дальше знакомиться с пропорцией.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость.

Рассмотрим ситуацию, в которой оказывается каждый, попадая в магазин.

Витя пришел в магазин за покупками. В кошельке ребенка лежало 300 рублей. Витя купил хлеб, молоко, масло, заплатил за товар. Денег у мальчика стало меньше. После посещения кондитерского отдела, где он купил карамель, пирожные, рулет денег стало совсем мало. Делаем вывод: чем больше покупок делает мальчик, тем меньше денег у него остается.

Значит, количество денег в нашем кошельке и количество покупок имеют обратно пропорциональную зависимость и являются обратно пропорциональными величинами.

А если взять ситуацию с оплатой за пользование водой и электроэнергией

Чем больше воды/электроэнергии мы используем, тем больше должны заплатить. В таком случае величины кубы воды/киловатты электроэнергии и денежные единицы называются прямо пропорциональными и имеют прямую пропорциональную зависимость.

Как решить задачу с помощью пропорции

Рассмотрим простейший пример. Трем группам нужно выплатить стипендию по 1600 рублей каждому. В первой группе 20 студентов. Значит первой группе будет выплачено 1600 × 20, то есть 32 тыс. рублей.

Во второй группе 17 человек. Значит второй группе будет выплачено 1600 × 17, то есть 27,200 тыс. руб.

Ну и выплатим стипендию третьей группе. В ней 15 человек. На них нужно затратить 1600 × 15, то есть 24 тыс. руб.

В результате имеем следующее решение:

Для подобных задач решение можно записывать с помощью пропорции.

Пропорция по определению есть равенство двух отношений. К примеру, равенство является пропорцией. Эту пропорцию можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится d

Аналогично можно соотнести стипендию и студентов, так чтобы каждому досталось по 1600 рублей.

Итак, запишем первое отношение, а именно отношение тысячи шестисот рублей на одного человека:

Мы выяснили, что для выплаты 20 студентам по 1600 рублей, нам потребуется 32 тыс. рублей. Значит второе отношение будет отношением тридцати двух тысяч к двадцати студентам:

Теперь соединим полученные отношения знаком равенства:

Мы получили пропорцию. Её можно прочесть следующим образом:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как тридцать две тысячи рублей относятся к двадцати студентам.

То есть по 1600 рублей каждому. Если выполнить деление в обеих частях равенства , то обнаружим, что одному студенту, как и двадцати студентам достанется по 1600 рублей.

Теперь представим, что сумма денег, необходимых для выплаты стипендии двадцати студентам, была бы неизвестной. Скажем, если бы вопрос стоял так: в группе 20 студентов и каждому нужно выплатить по 1600 рублей. Сколько всего рублей требуется для выплаты стипендии?

В таком случае пропорция  приняла бы вид . То есть сумма денег, необходимая для выплаты стипендии, стала неизвестным членом пропорции. Эту пропорцию можно прочесть так:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как неизвестное число рублей относится к двадцати студентам

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции. Оно гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

Перемножив члены пропорции «крест-накрест», получим равенство 1600 × 20 = 1 × x. Вычислив обе части равенства, получим 32000 = x или x = 32000. Иными словами, мы найдём значение неизвестной величины, которое искали.

Аналогично можно было определить общую сумму и для остального количества студентов — для 17 и 15. Эти пропорции выглядели как   и  . Воспользовавшись основным свойством пропорции, можно найти значение x

Задача 2. Расстояние равное 100 км автобус проехал за 2 часа. Сколько времени потребуется автобусу, чтобы проехать 300 км, если будет ехать с той же скоростью?

Можно сначала определить расстояние, которое автобус проезжает за один час. Затем определить сколько раз это расстояние содержится в 300 километрах:

100 : 2 = 50 км на каждый час движения

300 км : 50 = 6 часов

Либо можно составить пропорцию «сто километров так относятся к двум часам, как триста километров к неизвестному числу часов»:

Отношение двух чисел

На уроке математики ребята выполняли самостоятельную работу. На решение самостоятельных заданий Наталья Ивановна выделила 15 минут, после чего попросила сдать тетради на проверку. Подумайте, какую часть урока заняла самостоятельная работа?

Чтобы дать ответ на данное задание, давайте вспомним, какую продолжительность имеет обычный урок? Всем известно, что стандартный урок длится 45 минут. Получается, из 45 минут только 15 дети решали самостоятельную работу. Следовательно, нужно выяснить, какая часть целого урока потрачена на самостоятельную работу. В арифметике для вычисления части от числа или определения во сколько раз одно число больше другого существует специальное понятие «Отношение чисел»:

Исходя из рассмотренного определения, необходимо составить отношение длительности самостоятельной работы к длительности целого урока. Таким образом, ответим на главный вопрос задачи. Запишем отношение (частное) двух чисел:

15/45 – данную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 15.

15/45 = 1/3.

Выходит, что на самостоятельную работу класс потратил 1/3 всего урока.

Важно помнить, что числовое значение отношения чисел останется прежним, если каждый компонент отношения умножить или разделить на одно и то же число. Например:

Например:

Давайте, составляющие отношения 6/7 умножим на 2, то есть на дробь 2/2.

6/7 × 2/2 (числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель);

Получаем:

6×2/7×2 = 12/14 – при сокращении на 2, получим исходную дробь.

Следовательно, числовое значение дроби не изменилось – 6/7 = 12/14.

При составлении отношений с использованием различных чисел и величин, важно помнить, что отношение будет верным, если все компоненты отношения выражены в одинаковых единицах измерения. Разберем на примере

Разберем на примере.

В вазочке находился один килограмм конфет. Бабушка отсыпала 300 граммов сладостей в пакет. Определите, какую часть всех конфет отсыпала бабушка?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно составить отношение массы отсыпанных конфет к общей массе сладостей: 300 граммов/1 килограмм. Сразу определить числовое значение отношения не можем, составляющие имеют разные единицы измерения массы – грамм и килограмм. Выразим один килограмм в граммах:

1кг = 1000 грамм

Теперь определим, какую часть составили отсыпанные сладости:

Бабушка отсыпала 3/10 всех сладостей в пакет.

Запомни!

Если a и b числовые значения или значения, выраженные в одной и той же величине, тогда:

• отношение a/b, будет равно частному a и b;
• при условии, что a>b, отношение a/b говорит, во сколько раз a больше, чем b;
• при условии, что a<b, отношение a/b говорит, какую часть a составляет от b.

Прямая пропорциональность

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Пусть буква х обозначает в годах возраст сына, а буква у — возраст отца и пусть в данный момент сыну один год, а отцу 25 лет.

Составим таблицу значений х и соответствующих им значений буквы у. В третьей строке этой таблицы выпишем значения отношения :

В этом примере отношение (отношение возраста отца к возрасту сына) не остается неизменным. Оно с течением времени убывает.

Пример:

Пусть буква х обозначает в сантиметрах длину стороны квадрата, а буква у — площадь квадрата в квадратных сантиметрах.

Составим таблицу, подобную предыдущей.

Отношение и здесь не остается неизменным. Оно возрастает при возрастании х.

Пример:

Пусть буква х обозначает в кубических сантиметрах объем ртути при температуре 0°, а буква у — вес этой ртути в граммах. Известно, что 1 куб. см ртути при температуре 0° весит 13,6 г.

Опять составим таблицу значений х, у и .

Этот третий пример существенно отличается от двух предыдущих. Здесь отношение сохраняет неизменное значение.

Определение:

Две величины у и х называются прямо пропорциональными (или просто пропорциональными), если при всех их возможных изменениях отношение остается равным одному и тому же числу и если при х = 0 значение у также равно нулю.

Значит, вес ртути и объем ртути при постоянной температура являются величинами пропорциональными.

Возраст отца и возраст сына не пропорциональны.

Также не пропорциональны сторона квадрата и его площадь.

Пусть изменяющиеся величины у и х пропорциональны. Тогда отношение будет равно некоторому постоянному числу.

Обозначая это постоянное число буквой k, получим:

или

Следовательно, если величины у и х пропорциональны и отношение равно k, то у выражается в зависимости от х формулой

Число k называется коэффициентом пропорциональности (величины у по отношению к величине х).

Теперь докажем обратное положение. Пусть

где k — постоянное число.

Отсюда следует, что при х = 0 и у = 0 и что А это и означает, что величины у и х пропорциональны.

Из того что следует, что , или что Отсюда можно сделать следующий вывод:

Если коэффициентом пропорциональности величины у по отношению к величине х служит постоянное число k, то коэффициентом пропорциональности величины х по отношению к величине у будет служить число .

Приведем еще один пример пропорциональных величин. Путь s, пройденный при равномерном движении, пропорционален. времени t, т. е.

Здесь постоянное число v есть коэффициент пропорциональности величины s по отношению к величине t (v есть скорость равномерного движения).

Сделаем еще два замечания.

Замечание:

Если имеется два ряда чисел:

и

и если

то числа одного из этих рядов называются пропорциональными числам другого ряда.

Замечание:

Если имеются только два постоянных числа а и b, то бессмысленно говорить о них, что они пропорциональны или не пропорциональны.

В этом случае можно интересоваться либо характером этих чисел, либо их разностью, либо их отношением и т. д.

В заключение решим две простые задачи на пропорциональные величины.

Задача:

На карте в масштабе расстояние между двумя пунктами равно 42,5 см. Определить, чему равно это расстояние на карте в масштабе

Решение:

Длина на карте прямо пропорциональна масштабу. Поэтому.

Задача:

С помощью непосредственного измерения установили, что при повышении температуры рельса на 24°С его длина увеличивается на 1,5 мм. Требуется вычислениями определить изменение длины рельса при понижении его температуры на 40°С. (Считать изменение длины рельса величиной, прямо пропорциональной изменению температуры.)

Решение:

Обозначив искомое изменение (в мм) буквой х, получим:

откуда

т. е. при понижении температуры рельса на 40°С его длина сократится на 2,5 мм.

Как вычислить масштаб

Масштаб выбирается в зависимости от конечной цели: составление плана местности или чертеж детали. В первом случае применяется уменьшающий масштаб, а во втором он может быть увеличивающим

При этом важно, чтобы карта или чертеж получился наглядным и подробным. В работе с масштабом и при решении задач используются пропорции

Пример задачи: Первая карта выполнена в масштабе 1:20 000. Длина отрезка между двумя точками на ней составляет 4,8 см. На второй карте это же расстояние равняется 9,6 см. Рассчитайте масштаб второй карты.

Составляем пропорцию.

	На карте	На местности
Масштаб, см	1	20 000
Расстояние, см	4,8	Х

Х = 4,8 × 20 000 = 96 000 см = 960 м — это расстояние между точками на местности.

Чтобы вычислить масштаб второй карты необходимо 96 000 см : 9,6 см = 10 000 см.

Ответ: вторая карта выполнена в масштабе 1:10 000.

Узкие специалисты, работающие с географическими изображениями территорий, проектами и чертежами, должны уметь правильно вычислять масштаб без помощи калькулятора. Для остальных людей существуют специальные онлайн-калькуляторы, которые сделают это за них.

С понятием «масштаб» человек сталкивается во время путешествия или поиска на карте определенного места, заведения. Эта величина используется во многих сферах деятельности: проектировании, фотосъемке, моделировании. Поэтому каждому необходимо иметь представление о масштабе, понимать, что он показывает и каких видов бывает.