Номер 403

Алгебра

17. Квадратный корень из степени

Найдём значение выражения при х = 5 и при х = — 6:

В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

Теорема

Рассмотрим два случая: х ≥ 0 и х < 0. Если х ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня = х. Если х < 0, то — х > 0, поэтому = = — х. Мы знаем, что |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = — х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения совпадает со значением выражения |х|.

Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1).

Пример 1. Упростим выражение .

Решение: Представим степень а16 в виде (а8)2 и воспользуемся тождеством (1):

Так как а8 ≥ 0 при любом а, то |а8| = а8. Итак, = а8.

Пример 2. Преобразуем выражение , где х ≤ 0.

Решение: Представим x10 в виде (х5)2, получим

Так как х ≤ 0, то х5 ≤ 0, поэтому |х5|= — х5.

Значит, при х ≤ 0

= — x5.

Пример 3. Найдём значение выражения .

Решение: Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим

Пример 4. Упростим выражение .

Решение: Имеем .

Упражнения

393. Вычислите:

394. Найдите значение выражения:

395. Замените выражение тождественно равным:

396. Упростите выражение:

397. Упростите выражение , зная, что:

     а) 0 ≤ а < 2;
     б) а ≥ 2.

398. (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения при х, равном:

     а) 2,71;
     б) 12,62.

     1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.
     2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
     3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

399. Верно ли равенство:

400. Упростите выражение:

401. Найдите значение корня:

402. Вычислите:

403. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:

404. Вычислите:

405. На рисунке 19 изображены графики функций

     y = 2x + 2, y = — З и y = -2х + 2.

     Рис. 19

     Для каждой функции укажите её график.

406. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR2H, где R — радиус основания, Н — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и Н.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.

2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.

3. Докажите тождество = |х|.

4. Покажите на примере выражения , как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

Как найти квадратный корень (шаг за шагом):

Чтобы подготовиться к вычислению квадратного корня, вам следует запомнить основной идеальный квадратный корень. Поскольку квадрат 1, 4, 9, 16, 25, 100 равен 1, 2, 3, 4, 5 и 10.

Чтобы найти квадрат √25, давайте посмотрим!

√25 = √5 * 5

√25 = √52

√25 = 5

Это простейшие квадратные корни, потому что они всегда дают целое число, но что, если у числа нет точного квадратного корня? Например, вы должны оценить квадрат в 54?

• Как вы знаете, √49 = 7 & √64 = 8. Итак, √54 находится между 8 и 7.
• Число 54 ближе к 49, чем к 64. Итак, вы можете попробовать угадать √54 = 7,45.
• Затем возводя в квадрат 7,45, получаем 7,452 = 55,5, что больше 54. Поэтому вам следует попробовать меньшее число. Возьмем 7,3
• Если взять в квадрат 7,3, получим 53,29, что близко к 54.
• Это означает, что квадратный корень из 54 находится между 7,3 и 7,4.

Возьмем другой пример:

Пример:

Что такое квадратный корень из 27?

Решение:

Поскольку число 27 не является квадратом любого числа. Итак, мы должны упростить это как:

√27 = √9 * 3

√9 * √3 = 3√3

Наш калькулятор корней онлайн корня учитывает эти формулы и методы упрощения для решения квадратного корня любого числа или любой дроби.

Извлечем квадратный корень из тысячи шестисот тридцати трех с примером, онлайн.

1. Чтобы получить и вывести корень квадратный из «тысячи шестисот тридцати трех» вам понадобится соответствующий способ — этот способ называется калькулятор, если вы конечно не умеете получать корни квадратные в уме…!смайлы

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   Для этого вам потребуется:

   Откройте .

   Набираем число — 1633, из которого нужно получить корень второй степени(он же квадратный корень).

   1633

   Жмем знак квадратного корня.

   1633

   Получаем квадратный корень из числа «1633»:

   40.410394702353

2. Калькулятор получил квадратный корень из тысячи шестисот тридцати трех :

   40.410394702353

   Видим, что извлеченный корень квадратный из числа «1633» не является целым!

   Количество знаков извлеченного корня из числа «1633» после запятой:

   12

   Вы можете взять и там возвести в квадрат, либо перемножить между собой эти два числа:.Результат: 40.410394702353 * 40.410394702353 = 1633Округлим полученный корень из «тысячи шестисот тридцати трех» до десятых!

   Окргуленение до сотых — это означает, что чисел после запятой будет 1:40.4

   Округлим полученный корень из «тысячи шестисот тридцати трех» до сотых!
   Окргуленение до сотых — это означает, что чисел после запятой будет 2:40.41

3. Пример как записать выражение корня квадратного — применить знак корня.Ставим знак корня «√», число «1633» из которого будем извлекать корень. Равно и результат :

   √ 1633 = 40.410394702353

   Стилизовать знак корня можно используя css (). Члены выражения располагаются как и в первом пункте! Порядок записи компонентов выражения аналогична первому пункту!

   1633= 40.410394702353

   Степень корня указывают, поставиви число степени слева от корня.

   21633= 40.410394702353

4. Второе значение корня второй степени из «тысячи шестисот тридцати трех» со знаком минус есть:

   — 40.410394702353 * — 40.410394702353 = 1633

5. Необходимо разложить число «1633» числа(в том числе для того, чтобы вынести из под корня, либо еще говорят — упростить…)? Если их умножить последовательно друг на друга, то получим первоначальное число! Число «1633» разложится автоматически на числа!Если чисел нет, то вы увидите соответствующее сообщение.Как и где проверить, что «1633» не раскладывается ? Смотри здесь.

   23 * 71

   Видим, что здесь нет повторяющихся цифр, поэтому… за пределы корня ничего вывести нельзя!

   23 * 71

6. Получим онлайн квадратный корень из «1633»! Вам понадобится проделать пару действий:

   Вам нужен .

   Нужно набрать ваше число — 1633, из которого хотите получить квадратный корень.

   1633

   Ищем и нажимаем знак квадратного корня.

   1633

   В окне калькулятора видим ваш квадратный корень из числа «1633»:

   40.410394702353

Не стесняемся говорить спасибо!