Раздел 2. Квадратные уравнения
2.1 Квадратное уравнение и его корни
2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.10
2.112.122.132.142.152.162.182.192.202.212.222.232.242.252.262.272.28
2.2 Формулы корней квадратного уравнения
2.292.302.312.322.332.342.352.362.372.382.392.402.412.422.432.442.452.462.472.482.492.502.512.522.532.542.552.562.572.582.592.602.61
2.3 Теорема Виета
2.622.632.642.652.662.672.682.692.702.71
2.722.732.742.752.762.772.782.792.802.812.822.832.842.852.862.872.882.892.902.91
2.4 Свойства корней квадратного уравнения
2.922.932.942.952.962.972.982.992.1002.1012.1022.1032.1042.1052.1062.1072.1082.1092.1102.112
2.5 Решение уравнений
2.1132.1142.1152.1162.1172.1182.1192.1202.1212.1222.1232.1242.1252.1262.1272.1282.1292.130
2.6 Рациональные уравнения. Текстовые задачи, приводимые к квадратным уравнениям
2.1312.132
2.1332.1342.1352.1362.1372.1382.1392.1402.1412.1422.1432.1442.1452.1462.1472.1482.1492.1502.1512.1522.1532.1542.1552.1562.1572.1582.1592.160
2.1612.1622.1632.1642.1652.1662.1672.1682.1692.1702.1712.1722.1732.174
ГДЗ к учебнику Алгебра 8 класс, Мерзляк
Готовые домашние задания к учебнику алгебры за 8 класс могут стать для вас незаменимы, даже если вы никогда не списываете. И правильно делаете. Списывать не нужно. Нужно сделать домашнее задание, а затем свериться с ГДЗ. Наш решебник поможет утвердиться в своей правоте. К нашему сожалению, в учебнике очень мало заданий, подразумевающих тренировку устного счета в широких пределах, поэтому советуем вам дополнительно заниматься на тренажере устного счета, его вы тоже найдете у нас на ГДЗответ ру. Ответы на задания проверены учителем математики. Выбирайте нужную страницу ГДЗ, чтобы посмотреть правильные ответы.
Алгебра
17. Квадратный корень из степени
Найдём значение выражения при х = 5 и при х = — 6:
В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:
Теорема
|
При любом значении х верно равенство = |x|. (1) |
Рассмотрим два случая: х ≥ 0 и х < 0. Если х ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня = х. Если х < 0, то — х > 0, поэтому = = — х. Мы знаем, что |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = — х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения совпадает со значением выражения |х|.
Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1).
Пример 1. Упростим выражение .
Решение: Представим степень а16 в виде (а8)2 и воспользуемся тождеством (1):
Так как а8 ≥ 0 при любом а, то |а8| = а8. Итак, = а8.
Пример 2. Преобразуем выражение , где х ≤ 0.
Решение: Представим x10 в виде (х5)2, получим
Так как х ≤ 0, то х5 ≤ 0, поэтому |х5|= — х5.
Значит, при х ≤ 0
= — x5.
Пример 3. Найдём значение выражения .
Решение: Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим
Пример 4. Упростим выражение .
Решение: Имеем .
Упражнения
-
Вычислите:
-
Найдите значение выражения:
-
Замените выражение тождественно равным:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение , зная, что:
а) 0 ≤ а < 2;
б) а ≥ 2. -
(Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения при х, равном:
а) 2,71;
б) 12,62.1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.
2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений. -
-
Верно ли равенство:
-
Упростите выражение:
-
Найдите значение корня:
-
Вычислите:
-
Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:
-
Вычислите:
-
На рисунке 19 изображены графики функций
y = 2x + 2, y = — З и y = -2х + 2.
Рис. 19
Для каждой функции укажите её график.
- Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR2H, где R — радиус основания, Н — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и Н.
Контрольные вопросы и задания
-
Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.
- Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
-
Докажите тождество = |х|.
- Покажите на примере выражения , как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.
Раздел 1. Квадратный корень и иррациональные выражения
1.1. Определение квадратного корня
Упражнение
1.11.21.31.41.5
1.61.71.81.91.101.111.121.131.141.151.161.171.181.191.201.211.221.231.241.251.261.271.281.29
1.2 Понятие иррационального числа
Упражнение
1.301.311.321.331.341.351.361.371.381.391.401.411.421.431.441.451.461.471.481.491.501.511.521.531.541.551.561.571.581.59
1.3 Соответствеи между действительными числами и точками прямой
Упражнение
1.601.611.621.631.641.65
1.661.671.681.691.701.711.721.731.741.751.761.771.781.791.801.811.821.831.841.851.861.871.881.891.90
1.4 Свойства квадратного корня
Упражнение
1.911.921.931.941.951.961.971.991.1001.1011.1021.1031.1041.1051.1061.1071.1081.1091.1101.1111.1121.1131.1141.1151.1161.1171.1181.1191.1201.1211.1221.1231.1241.1251.126
1.1271.1281.1291.130
Упражнение
1.1311.1321.1331.1341.1351.1361.1371.1381.1391.1401.1411.1421.1431.1441.1451.1461.1471.1481.1491.1501.1511.1521.1531.1541.1551.1561.1571.1581.1591.1601.1611.1621.1631.1641.1651.1661.1671.1681.1691.1701.1711.1721.1731.1741.1751.176