Квадрат суммы
Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)Решение:
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ
Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.
Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.
Решение:
|
\((1+5x)^2-12x-1= \) |
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы… |
|
|
\(=1+10x+25x^2-12x-1=\) |
…и приведем подобные слагаемые. |
|
|
\(=25x^2-2x\) |
Готово. |
Ответ: \(25x^2-2x\).
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Решение:
\((368)^2+2·368·132+(132)^2=\)
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего
Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(=(368+132)^2=\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
\(=(500)^2=250 000.\)
Готово.
Ответ: \(250 000\).
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Получили формулу:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями.
Пример. Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\).
Решение:
|
\(\frac{x^2-9}{x-3}\)\(=\) |
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! |
|
|
\(=\) \(\frac{x^2-3^2}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\) |
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки. |
|
|
\(=x+3\) |
Готов ответ. |
Ответ: \(x+3\).
Пример.Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\). Решение:
|
\(25x^4-m^{10} t^6\) |
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^{nm}\) и \(a^n b^n=(ab)^n\). |
|
|
\(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=\) |
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\). |
|
|
\(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )\) |
Готов ответ. |
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) . Решение:
Алгебра
19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Мы рассмотрели ряд преобразований выражений, содержащих квадратные корни. К ним относятся преобразования корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня. Рассмотрим другие примеры преобразований выражений, содержащих квадратные корни.
Пример 1. Упростим выражение
Решение: Вынесем за знак корня в выражении число 2, а в выражении д/45а число 3. Получим
Заменив сумму выражением , мы выполнили приведение подобных слагаемых. Запись можно вести короче, не выписывая промежуточный результат.
Пример 2. Сократим дробь .
Решение: Так как , то числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений. Поэтому
Пример 3. Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.
Решение: Умножив числитель и знаменатель дроби на , получим
Мы заменили дробь тождественно равной дробью , не содержащей в знаменателе знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.
Пример 4. Найдём с помощью калькулятора приближённое значение выражения с двумя знаками после запятой.
Решение: Вычисления будут проще, если предварительно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель данной дроби на сумму + 1. Получим
Проведя вычисления, найдём, что
Упражнения
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:
-
Выполните действия:
-
Выполните действия:
-
Преобразуйте выражение:
-
Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:
-
Разложите на множители выражение:
-
Сократите дробь:
-
Сократите дробь:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Докажите, что значение выражения:
а) есть число рациональное;
б) есть число иррациональное. -
Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с точностью до 0,01:
.
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Докажите, что:
-
Докажите, что числа 2 — и 2 + являются взаимно обратными, а числа 2 — 5 и — противоположными.
-
Среди чисел
есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.
-
-
Упростите выражение и найдите его значение при х = -2,5.
-
Решите уравнение:
-
Площадь кольца вычисляется по формуле S = π(R2 — г2), где R — радиус внешнего круга, а r — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и r.
-
Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 20, уравнение, графиком которого является эта прямая.
Рис. 20
Контрольные вопросы и задания
-
На примере выражения 3 покажите, как можно внести множитель под знак корня.
-
На примере выражения покажите, как можно вынести множитель за знак корня.
- На примере выражении и покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.