Алгебра
19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Мы рассмотрели ряд преобразований выражений, содержащих квадратные корни. К ним относятся преобразования корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня. Рассмотрим другие примеры преобразований выражений, содержащих квадратные корни.
Пример 1. Упростим выражение
Решение: Вынесем за знак корня в выражении число 2, а в выражении д/45а число 3. Получим
Заменив сумму выражением , мы выполнили приведение подобных слагаемых. Запись можно вести короче, не выписывая промежуточный результат.
Пример 2. Сократим дробь .
Решение: Так как , то числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений. Поэтому
Пример 3. Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.
Решение: Умножив числитель и знаменатель дроби на , получим
Мы заменили дробь тождественно равной дробью , не содержащей в знаменателе знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.
Пример 4. Найдём с помощью калькулятора приближённое значение выражения с двумя знаками после запятой.
Решение: Вычисления будут проще, если предварительно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель данной дроби на сумму + 1. Получим
Проведя вычисления, найдём, что
Упражнения
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:
-
Выполните действия:
-
Выполните действия:
-
Преобразуйте выражение:
-
Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:
-
Разложите на множители выражение:
-
Сократите дробь:
-
Сократите дробь:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Докажите, что значение выражения:
-
Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с точностью до 0,01:
.
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Докажите, что:
-
Докажите, что числа 2 — и 2 + являются взаимно обратными, а числа 2 — 5 и — противоположными.
-
Среди чисел
есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.
-
-
Упростите выражение и найдите его значение при х = -2,5.
-
Решите уравнение:
-
Площадь кольца вычисляется по формуле S = π(R2 — г2), где R — радиус внешнего круга, а r — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и r.
-
Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 20, уравнение, графиком которого является эта прямая.
Рис. 20
Контрольные вопросы и задания
-
На примере выражения 3 покажите, как можно внести множитель под знак корня.
-
На примере выражения покажите, как можно вынести множитель за знак корня.
- На примере выражении и покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
Алгебра
19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Мы рассмотрели ряд преобразований выражений, содержащих квадратные корни. К ним относятся преобразования корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня. Рассмотрим другие примеры преобразований выражений, содержащих квадратные корни.
Пример 1. Упростим выражение
Решение: Вынесем за знак корня в выражении число 2, а в выражении д/45а число 3. Получим
Заменив сумму выражением , мы выполнили приведение подобных слагаемых. Запись можно вести короче, не выписывая промежуточный результат.
Пример 2. Сократим дробь .
Решение: Так как , то числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений. Поэтому
Пример 3. Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.
Решение: Умножив числитель и знаменатель дроби на , получим
Мы заменили дробь тождественно равной дробью , не содержащей в знаменателе знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.
Пример 4. Найдём с помощью калькулятора приближённое значение выражения с двумя знаками после запятой.
Решение: Вычисления будут проще, если предварительно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель данной дроби на сумму + 1. Получим
Проведя вычисления, найдём, что
Упражнения
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:
-
Выполните действия:
-
Выполните действия:
-
Преобразуйте выражение:
-
Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:
-
Разложите на множители выражение:
-
Сократите дробь:
-
Сократите дробь:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Докажите, что значение выражения:
а) есть число рациональное;
б) есть число иррациональное. -
Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с точностью до 0,01:
.
-
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
-
Докажите, что:
-
Докажите, что числа 2 — и 2 + являются взаимно обратными, а числа 2 — 5 и — противоположными.
-
Среди чисел
есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.
-
-
Упростите выражение и найдите его значение при х = -2,5.
-
Решите уравнение:
-
Площадь кольца вычисляется по формуле S = π(R2 — г2), где R — радиус внешнего круга, а r — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и r.
-
Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 20, уравнение, графиком которого является эта прямая.
Рис. 20
Контрольные вопросы и задания
-
На примере выражения 3 покажите, как можно внести множитель под знак корня.
-
На примере выражения покажите, как можно вынести множитель за знак корня.
- На примере выражении и покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
