Номер 445

Алгебра

20. Преобразование двойных радикалов

Сторона а₅ правильного пятиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле

Выражение , входящее в эту формулу, имеет вид

,

где а, b, с — некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют двойным радикалом.

В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности.

Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: Попытаемся представить выражение 41 — 12 в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 12 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 41 как сумму их квадратов. Выражение 12 можно представить, например, как 2 • 6 • или как 2 • 3 • 2. Проверка убеждает нас, что именно в первом случае сумма квадратов множителей 6 и равна 41. Значит,

Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод неопределённых коэффициентов.

Решение: Пусть = а + b, где а и b — некоторые числа. Тогда (а + b)2 = 61 + 28 и а + b ≥ 0. Значит,

Отсюда

Выпишем все пары целых чисел (а; b), для которых аb = 14:

Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям

Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара (7; 2). Значит,

В тех случаях, когда a ≥ 0, b ≥ 0 и разность а2 — b равна квадрату рационального числа, освободиться от внешнего радикала в выражении можно с помощью формулы двойного радикала:

В правой части этой формулы записано неотрицательное число. Покажем, что его квадрат равен а ±

Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: По формуле двойного радикала имеем

Освобождение от внешнего радикала используется в преобразованиях выражений с переменными, содержащих двойные радикалы.

Пример 4. Упростим выражение

Решение: Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде

Получим

Упражнения

444. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

445. Найдите значение выражения:

446. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

447. Упростите выражение, вычислив предварительно значение а2, если:

448. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:

449. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

450. Найдите значение выражения:

451. Докажите, что верно равенство:

452. Упростите выражение:

453. Освободитесь от внешнего радикала в выражении:

Алгебра

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня

Сравним значения выражений и 6. Чтобы решить эту задачу, преобразуем . Представим число 50 в виде произведения 25 • 2 и применим теорему о корне из произведения. Получим

Так как 5 < 6, то < 6.

При решении задачи мы заменили произведением чисел 5 и . Такое преобразование называют вынесением множителя за знак корня.

Значения выражений и 6 можно сравнить иначе, представив произведение 6 в виде арифметического квадратного корня. Для этого число 6 заменим и выполним умножение корней.

Получим

Так как 50 < 72, то < . Значит,

< 6.

При решении задачи вторым способом мы заменили 6 выражением . Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.

Пример 1. Вынесем множитель за знак корня в выражении .

Решение: Выражение имеет смысл лишь при а ≥ 0, так как если а < 0, то а7 < 0.

Представим подкоренное выражение а7 в виде произведения а6 • а, в котором множитель а6 является степенью с чётным показателем.

Тогда

Пример 2. Внесём множитель под знак корня в выражении — 4.

Решение: Отрицательный множитель — 4 нельзя представить в виде арифметического квадратного корня, и поэтому множитель — 4 нельзя внести под знак корня. Однако выражение — 4 можно преобразовать, внеся под знак корня положительный множитель 4:

Пример 3. Внесём множитель под знак корня в выражении a.

Решение: Множитель а может быть любым числом (положительным, нулём или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

Упражнения

407. Вынесите множитель за знак корня:

408. Вынесите множитель за знак корня и упростите полученное выражение:

409. Вынесите множитель за знак корня:

410. Внесите множитель под знак корня:

411. Какое из выражений не имеет смысла?

412. Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного:

413. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

414. Сравните значения выражений:

415. Сравните значения выражений:

416. Расположите в порядке возрастания числа:

417. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства

     Выясните, каким должно быть соотношение между числами а и b, чтобы было верно равенство , где а ∈ N и b ∈ N.

     1) Возведите в квадрат обе части равенства.
     2) Установите, каким должно быть соотношение между числами а и b.
     3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

418. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см2 со сторонами а см, b см и с см можно вычислить по формуле Герона:

     где р — полупериметр треугольника.

     Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

     а) 12 см, 16 см, 24 см;
     б) 18 см, 22 см, 26 см.

     1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.
     2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
     3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

419. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?

420. Решите уравнение: