Алгебра 8. неполные квадратные уравнения

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь.

алгоритм решения полного квадратного уравнения

Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\)

Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

Вычислить корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)   и   \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).

Примеры:

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)Решение:

Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).

Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)Решение:

Ответ: \(x=3\).

Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)Решение:

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).. Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета

Это быстрее, но требует определенного навыка.

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Дискриминант деленный на 4

Квадратные уравнения иногда удобно решать по упрощенной формуле дискриминанта. Но применять ее можно не во всех случаях, а только, если коэффициент \(b\) в уравнении \(ax^2+bx+c=0\) четный (делится на 2).

Итак, представим, что коэффициент \(b\) четный, тогда дискриминант можно посчитать по формуле:
$$D_4=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac;$$
А корни уравнения находятся по формулам:
$$x_1=\frac{-\frac{b}{2}+\sqrt{D_4}}{a};$$
$$x_2=\frac{-\frac{b}{2}-\sqrt{D_4}}{a};$$
Кстати, обычный дискриминант \(D\) отличается от \(D_4\) в 4 раза:
$$D_4=\frac{D}{4}=\frac{b^2-4ac}{4}=\frac{b^2}{4}-\frac{4ac}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac;$$
Поэтому \(D_4\) называют «дискриминантом деленным на 4».

Эти формулы нужны, чтобы, когда это возможно, сократить вычисления. Разберем на примере:

Пример 16
$$7x^2-20x-1067=0;$$
$$a=7 \quad b=-20 \quad c=-1067.$$
\(b=-20\) — четный, поэтому воспользуемся дискриминантом деленным на 4:
$$D_4=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(\frac{-20}{2}\right)^2-7*(-1067)=(-10)^2+7469=100+7469=7569;$$
$$x_1=\frac{-\frac{b}{2}+\sqrt{D_4}}{a}=\frac{-\frac{-20}{2}+\sqrt{7569}}{7}=\frac{10+87}{7}=\frac{97}{7};$$
$$x_2=\frac{-\frac{b}{2}-\sqrt{D_4}}{a}=\frac{-\frac{-20}{2}-\sqrt{7569}}{7}=\frac{10-87}{7}=\frac{-77}{7}=-11;$$
Ответ: \(x_1=\frac{97}{7} \quad и \quad x_2=-11.\)

Выделение полного квадрата

Выделение полного квадрата — это преобразования многочленов второй степени. С его помощью квадратные уравнения НЕ решают. Метод может пригодиться при оценке квадратных многочленов, построении графиков квадратных функций и особенно его любят в сложных заданиях с параметрами.

Надеюсь, вы знакомы с формулами сокращенного умножения:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2;$$
Еще они называются формулам полного квадрата. Часто их применяют, чтобы раскрыть квадрат суммы или разности, но иногда бывает нужно, наоборот, представить квадратный многочлен в виде скобок, то есть воспользоваться формулами справа налево:
$$x^2+2x+1=(x+1)^2;$$
$$4x^2-8x+4=(2x-2)^2;$$
К сожалению, далеко не любой квадратный многочлен можно представить в виде квадрата. Более того, такие многочлены встречаются не часто. Метод выделения полного квадрата позволяет представить практически любой многочлен в виде суммы/разности квадрата и числа. Например, многочлен \(x^2+6x+7\) невозможно свернуть по формулам сокращенного умножения, но можно представить в виде:
$$x^2+6x+7=x^2+6x+9-2=(x+3)^2-2;$$
Приведение многочлена второй степени к такому виду и называется методом выделения полного квадрата. Давайте разбираться, как я все это провернул:

• Первые два слагаемых, у которых есть \(x\), мы никогда не трогаем. Нас интересует только свободный член. Нужно дополнить слагаемые таким свободным членом, чтобы получилась формула полного квадрата.
• Соотнесем формулу \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) с многочленом \(x^2+6x+(?)\). В нашем примере:
  $$a^2=x^2 \Rightarrow a=\pm x;$$
  $$2ab=6*x=2*3*x;$$
  а знак вопроса — это \(b^2\), которое нам надо подобрать.
• Посмотрите еще раз на слагаемое удвоенного произведения \(2ab=6*x=2*3*x\), если \(a=x\), то \(b\) должно быть равно \(3\). То есть вместо знака вопроса нужно подставить \(b^2=3^2=9\).
• Но мы не можем просто к \(x^2+6x\) добавить \(9-ку\), тогда квадратный многочлен изменится. Если мы добавим \(9\), то и вычтем \(9\):
  $$x^2+6x+7=x^2+6x+9-9+7=(x+3)^2-9+7=(x+3)^2-2;$$

В общем виде алгоритм выделения полного квадрата будет выглядеть так:
$$ax^2\pm bx+c=a(x^2\pm \frac{b}{a}x)+c=a(x^2 \pm 2\frac{b}{2a}x)+c=$$
$$=a\left(x^2 \pm 2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=$$
$$=a\left(\left(x^2 \pm 2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=$$
$$=a\left(x\pm \frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c.$$

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета — это еще один способ упростить решение полных квадратных уравнений. Ее очень часто используют для решения несложных квадратных уравнений в уме и для анализа квадратного многочлена, особенно это актуально в сложных заданиях с параметром в ЕГЭ.

Прежде чем сформулировать теорему Виета, познакомимся с приведенными квадратными уравнениями.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратные уравнения \(ax^2+bx+c=0\), у которых коэффициент \(a\) при \(x^2\) равен \(1\), называют приведенными.

Например:
$$x^2+4x-3=0;$$
$$x^2-140x-65=0;$$
Любое полное квадратное уравнение всегда можно свести к приведенному. Для этого надо поделить все уравнение на коэффициент \(a\):

Пример 17
Привести квадратное уравнение к приведенному.
$$3x^2-15x+9=0;$$
Разделим уравнение на \(a=3\). (Так можно делать: если левую и правую части уравнения поделить на одно и то же число, то корни уравнения от этого не изменятся.)
$$\frac{3x^2-15x+9}{3}=\frac{0}{3};$$
В результате каждое слагаемое поделится на \(3\):
$$\frac{3x^2}{3}-\frac{15x}{3}+\frac{9}{3}=0;$$
$$x^2-5x+3=0;$$

Формулы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения \(x^2+bx+c=0\) равна второму коэффициенту \(b\) со знаком минус, а произведение корней равно свободному члену \(c\).

Пусть \(x_1\), и \(x_2\) — корни квадратного уравнения \(x^2+bx+c=0\), тогда справедливы формулы:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-b; \\
x_1*x_2=c. \\
\end{cases}$$
На первый взгляд может показаться, что это очень запутанно, но на самом деле, теорема Виета часто помогает решить уравнение в уме. Попробуем на практике:

Пример 18
$$x^2+4x+3=0;$$
$$a=1 \quad b=4 \quad c=3.$$
Воспользуемся теоремой Виета и выпишем формулы:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-b; \\
x_1*x_2=c. \\
\end{cases}$$
Подставим коэффициенты:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-4; \\
x_1*x_2=3. \\
\end{cases}$$

Нужно найти такие \(x_1\) и \(x_2\), которые удовлетворяют и первому, и второму уравнениям в системе. Подобрать корни достаточно просто: рассмотрим второе уравнение, какие два числа дают при умножении \(3ку\)?

Либо: \(3=1*3\);
Либо: \(3=(-1)*(-3)\).

Осталось проверить, будут ли найденные множители удовлетворять первому уравнению в системе, просто подставим их:
$$1+3 \neq -4;$$
$$-1+(-3) = -4;$$
Вот мы и нашли корни системы уравнений: \(x_1=-1\) и \(x_2=-3\). А самое главное, мы нашли корни исходного квадратного уравнения. Ответ: \(x_1=-1 \quad и \quad x_2=-3.\)

Если потренироваться, то все эти вычисления можно легко проводить в уме, если коэффициенты небольшие. Главное запомнить, что произведение корней должно быть равно свободному члену \(c\), а сумма корней равна \((-b)\).

Теорема Виета, если \(a\neq1\)

По теореме Виета можно решать не только приведенные квадратные уравнения (у которых \(a=1\)). Но перед тем, как применять формулы Виета, надо привести уравнение к приведенному, поделив на первый коэффициент \(a\):
$$ax^2+bx+c=0; \quad \mid :a$$
$$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a};$$
$$x^2+\frac{b}{a}*x+\frac{c}{a};$$
Получили приведенное квадратное уравнение, для которого можно записать формулы Виета, где вторым коэффициентом будет \(\frac{b}{a}\), а свободным членом \(\frac{c}{a}\):
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}; \\
x_1*x_2=\frac{c}{a}. \\
\end{cases}$$

Пример 19
$$12x^2+x-1=0;$$
$$a=12 \quad b=1 \quad c=-1.$$
Коэффициент \(a=12 \neq 1\), поэтому разделим все уравнение на \(a=12\):
$$12x^2+x-1=0; \quad \mid :12$$
$$x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}=0;$$
$$a=1 \quad b=\frac{1}{12} \quad c=-\frac{1}{12}.$$

Теорема Виета:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-\frac{1}{12}; \\
x_1*x_2=-\frac{1}{12}. \\
\end{cases}$$

Подбираем корни:
$$x_1=-\frac{1}{3};$$
$$x_2=\frac{1}{4};$$

Ответ: \(x_1=-\frac{1}{3} \quad и \quad x_2=\frac{1}{4}.\)