8.2.3. Теорема Виета
I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0), второй коэффициент p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:
x1+x2=1; x1∙x2=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D1 является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x1=-7, x2=4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x1+x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1∙x2=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:
Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0.
Решение.
Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.
Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.
Решение.
Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x1∙x2=c:a=-21:3=-7.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством: \( \left\ x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений \( -x^2+6x+14=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac=0 \) имеет вид \( ax^2+bx+c=0, \) где x — переменная, a, b и c — числа. В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения \( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \); 2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \); 3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a: \( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ = \pm \sqrt> \)
Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Калькулятор онлайн. Решение квадратного уравнения.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами: — с помощью дискриминанта — с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный. Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква. Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные. Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей. В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой. Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2 Результат: \( 3\frac — 5\frac z + \fracz^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается. Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Алгебра 8 Мордкович (упр. 32.1 — 32.55)
§ 32. Теорема Виета и её применения
Задание № 32.1. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна –6, а произведение корней равно –11:
а) x2 – 6х + 11 = 0; б) x2 + 6x – 11 = 0; в) x2 – 11х – 6 = 0; г) x2 + 11x – 6 = 0 ?
Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни. Для уравнений, имеющих корни, найдите их сумму и произведение:
Задание № 32.2. а) x2 + 2х – 5 = 0; б) x2 – 15x + 16 = 0; в) x2 – 19x + 1 = 0; г) x2 + 8x + 10 = 0.
Задание № 32.3. а) 2×2 + 9x – 10 = 0; б) 5×2 + 12x + 7 = 0; в) 19×2 – 23x + 5 = 0; г) Зx2 + 113x – 7 = 0.
Задание № 32.4. а) x2 – 9 = 0; б) 2×2 + 3x = 0; в) x2 + 5x = 0; г) 7×2 – 1 = 0.
Задание № 32.5. а) 0,2×2 – 4x – 1 = 0; б) √3×2 – 12x – 7√3 = 0; в) x2 – √5x +1 = 0; г) 2/3 • x2 + 2x – 1 = 0.
Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:
Задание № 32.6. а) x2 + 3x + 2 = 0; б) x2 – 15x + 14 = 0; в) x2 + 8x + 7 = 0; г) x2 – 19x + 18 = 0.
Задание № 32.7. а) x2 + 3x – 4 = 0; б) x2 – 10x – 11 = 0; в) x2 – 9x – 10 = 0; г) x2 + 8x – 9 = 0.
Задание № 32.8. а) x2 + 9x + 20 = 0; б) x2 – 15x + 36 = 0; в) x2 + 5x – 14 = 0; г) x2 – 7x – 30 = 0.
Задание № 32.9. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) x1 = 4; x2 = 2; б) x1 = 3; x2 = –5; в) x1 = –8; x2 = 1; г) x1 = –6; x2 = –2.
Задание № 32.10. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) x1 = 2,5; x2 = –2; б) x1 = –2/3; x2 = –1 1/2; в) x1 = –2,4; x2 = –1,5; г) x1 = 3/5; х2 = –1 2/3.
Задание № 32.11. Может ли квадратное уравнение x2 + bх – 8 = 0:
а) не иметь корней;
б) иметь равные корни;
в) иметь два различных корня разных знаков;
г) иметь два различных корня одного и того же знака?
Задание № 32.12. Пусть х1 и x2 – корни квадратного уравнения аx2 + bх + с = 0. Найдите:
а) b и с, если а = 2, х1 = 3, x2 = –0,5;
б) а и с, если b = –1, х1 = 3, x2 = –4;
в) а и b, если с = 4, х1 = –2, x2 = –0,25;
г) а и с, если b = 6, х1 = 3, x2 = –4.
Задание № 32.13. При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения x2 + (р2 + 4р – 5)х – р = 0 равна нулю?
Задание № 32.14. При каких значениях параметра р произведение корней квадратного уравнения x2 + 3х + (р2 – 7р + 12) = 0 равно нулю?
Задание № 32.15.
Задание № 32.16.
Задание № 32.17.
Задание № 32.18.
Задание № 32.19.
Задание № 32.20.
Задание № 32.21.
Задание № 32.22.
Задание № 32.23.
Задание № 32.24.
Задание № 32.25.
Задание № 32.26.
Задание № 32.27.
Задание № 32.28.
Задание № 32.29.
Задание № 32.30.
Задание № 32.31.
Задание № 32.32.
Задание № 32.33.
Задание № 32.34.
Задание № 32.35.
Задание № 32.36.
Задание № 32.37.
Задание № 32.38.
Задание № 32.39.
Задание № 32.40.
Задание № 32.41.
Задание № 32.42.
Задание № 32.43.
Задание № 32.44.
Задание № 32.45.
Задание № 32.46.
Задание № 32.47.
Задание № 32.48.
Задание № 32.49.
Задание № 32.50.
Задание № 32.51.
Задание № 32.52.
Задание № 32.53.
Задание № 32.54.
Задание № 32.55.
Вы смотрели: Алгебра 8 класс. Часть 2 (Задачник) УМК Мордкович (2018-2021). ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. § 32. Теорема Виета и её применения. ОТВЕТЫ на упражнения 32.1 — 32.55. Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ.
Просмотров: 59 415
Теорема Виета (продолжение)
ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.
Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения
3х2 – 5х + 2 = 0.
Дискриминант D = 25 – 4 • 3 • 2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение Значит, сумма корней уравнения 3х2 – 5х + 2 = 0 равна а произведение равно
По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.
Пример 2. Решим уравнение х2 + 3х – 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.
Найдём дискриминант:
D = 32 + 4 • 40 = 169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
Отсюда
х1 = -8, х2 = 5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2 + 2х – 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 + 3х – 40 = 0.
Пример 3. Найдём подбором корни уравнения
х2 – х – 12 = 0.
Дискриминант D = 1 – 4 • 1 • (-12) — положительное число. Пусть x1 и х2 — корни уравнения. Тогда
x1 + х2 = 1 и х1 • х2 = —12.
Если х1 и х2 — целые числа, то они являются делителями числа -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x1 = -3 и х2 = 4.
Упражнения
580. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
а) х2 – 37х + 27 = 0;б) у2 + 41у – 371 = 0;в) х2 – 210х = 0;г) у2 – 19 = 0;
д) 2х2 – 9х – 10 = 0;е) 5х2 + 12х + 7 = 0;ж) -z2 + 2 = 0;з) 3х2 – 10 = 0.
581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) х2 – 2х – 9 = 0;б) 3х2 – 4х – 4 = 0;
в) 2х2 + 7х – 6 = 0;г) 2х2 + 9х + 8 = 0.
582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) х2 – 15х – 16 = 0;б) х2 – 6х – 11 = 0;в) 12х2 – 4х – 1 = 0;
г) х2 – 6 = 0;д) 5х2 – 18х = 0;е) 2х2 -41 = 0.
583. Найдите подбором корни уравнения:
а) х2 – 9х + 20 = 0;б) х2 + 11х – 12 = 0;
в) х2 + х – 56 = 0;г) х2 – 19х + 88 = 0.
584. Найдите подбором корни уравнения:
а) х2 + 16х + 63 = 0; б) х2 + 2х – 48 = 0.
585. В уравнении х2 + рх – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.
586. Один из корней уравнения х2 – 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.
587. Один из корней уравнения 5х2 + bх + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.
588. Один из корней уравнения 10х2 – 33х + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
589. Разность корней квадратного уравнения х2 – 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.
590. Разность корней квадратного уравнения х2 + х + с = 0 равна 6. Найдите с.
>>
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение \( x^2+\fracx +\frac=0 \)
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена: \( x^2+2x \cdot \frac+\left( \frac\right)^2- \left( \frac\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е. \( D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения: \( x_ = \frac > \), где \( D= b^2-4ac \)
Очевидно, что: 1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня. 2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac \). 3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D