Теорема виета

Теорема, обратная теореме Виета

Вторая формулировка теоремы Виета, приведенная в предыдущем пункте, указывает, что если x₁ и x₂ корни приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0, то справедливы соотношения x₁+x₂=−p, x₁·x₂=q. С другой стороны, из записанных соотношений x₁+x₂=−p, x₁·x₂=q следует, что x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения x2+p·x+q=0. Иными словами, справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируем его в виде теоремы, и докажем ее.

Теорема.

Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁+x₂=−p и x₁·x₂=q, то x₁ и x₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0.

Доказательство.

После замены в уравнении x2+p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x₁ и x₂, оно преобразуется в равносильное уравнение x2−(x₁+x₂)·x+x₁·x₂=0.

Подставим в полученное уравнение вместо x число x₁, имеем равенство x₁2−(x₁+x₂)·x₁+x₁·x₂=0, которое при любых x₁ и x₂ представляет собой верное 0=0, так как x₁2−(x₁+x₂)·x₁+x₁·x₂=x₁2−x₁2−x₂·x₁+x₁·x₂=0. Следовательно, x₁ – корень уравнения x2−(x₁+x₂)·x+x₁·x₂=0, а значит, x₁ – корень и равносильного ему уравнения x2+p·x+q=0.

Если же в уравнение x2−(x₁+x₂)·x+x₁·x₂=0 подставить вместо x число x₂, то получим равенство x₂2−(x₁+x₂)·x₂+x₁·x₂=0. Это верное равенство, так как x₂2−(x₁+x₂)·x₂+x₁·x₂=x₂2−x₁·x₂−x₂2+x₁·x₂=0. Следовательно, x₂ тоже является корнем уравнения x2−(x₁+x₂)·x+x₁·x₂=0, а значит, и уравнения x2+p·x+q=0.

На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета.

Формулы Виета

Выше мы говорили о теореме Виета для квадратного уравнения и разбирали утверждаемые ей соотношения. Но существуют формулы, связывающие действительные корни и коэффициенты не только квадратных уравнений, но и кубических уравнений, уравнений четверной степени, и вообще, алгебраических уравнений степени n. Их называют формулами Виета.

Запишем формулы Виета для алгебраического уравнения степени n вида , при этом будем считать, что оно имеет n действительных корней x₁, x₂, …, x_n (среди них могут быть совпадающие):

Получить формулы Виета позволяет теорема о разложении многочлена на линейные множители, а также определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов. Так многочлен и его разложение на линейные множители вида равны. Раскрыв скобки в последнем произведении и приравняв соответствующие коэффициенты, получим формулы Виета.

В частности при n=2 имеем уже знакомые нам формулы Виета для квадратного уравнения .

Для кубического уравнения формулы Виета имеют вид

Остается лишь заметить, что в левой части формул Виета находятся так называемые элементарные симметрические многочлены.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / ; под ред. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. — ISBN 978-5-09-022771-1.

Примеры применения теоремы Виета

Рассмотрим примеры, в которых целесообразно применение теоремы Виета.

Пример 1

Напишите приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 25 и 2.

Решение:

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

По теореме Виета имеем:

Тогда:

Искомое уравнение будет иметь вид:

Ответ: .

Пример 2

Решите уравнение, применяя теорему Виета.

Решение:

По теореме корни уравнения удовлетворяют системе:

Подбирая, получим:

, .

Действительно, подставим данные корни по очереди в исходное уравнение, и проверим правильность решения.

Корни уравнения найдены верно.

Ответ: , .

Пример 3

Требуется найти корни уравнения .

Решение:

Решать будем через теорему Виета, так как уравнение приведенное — старший коэффициент .

.

Корнями уравнения будут числа и . Они удовлетворяют системе. Сделаем проверку:

Ответ: и .

Пример 4

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

Решение:

Сумму и произведение корней найдем по формулам Виета , .

Ответ: , .

Пример 5

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

Решение:

Связь между корнями уравнения и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

, тогда .

Определим :

Тогда уравнение будет иметь вид: .

Ответ: .

Согласно теореме Виета мы можем решить любое приведенное квадратное уравнение, которое имеет действительные корни. Соотношения Виета значительно упрощают решение квадратных уравнений, однако, если есть сложности с подбором корней, то всегда можно найти корни по общим формулам. Однако, применение теоремы Виета в случае, где она применима, считается наиболее рациональным путем решения.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x₁ и x₂ равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а произведение x₁ и x₂ равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x2 − 5x + 6 = 0.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x₁ + x₂ = 6, так и равенству x₁ × x₂ = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x₁ × x₂ = 8 нужно найти такие x₁ и x₂, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 81 × 8 = 8

Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x₁ × x₂ = 8, но и равенству x₁ + x₂ = 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x₁ × x₂ = 8, но не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x₁ × x₂ = 8, так и равенству x₁ + x₂ = 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x2 + bx + c = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Теорема Виета, формулировка, доказательство

Из a·x2+b·x+c=0 вида , где D=b2−4·a·c, вытекают соотношения x₁+x₂=−b/a, x₁·x₂=c/a. Эти результаты утверждаются теоремой Виета:

Теорема.

Если x₁ и x₂ – корни квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a, то есть, .

Доказательство.

Доказательство теоремы Виета проведем по следующей схеме: составим сумму и произведение корней квадратного уравнения, используя известные формулы корней, после этого преобразуем полученные выражения, и убедимся, что они равны −b/a и c/a соответственно.

Начнем с суммы корней, составляем ее . Теперь приводим дроби к общему знаменателю, имеем . В числителе полученной дроби раскрываем скобки, после чего приводим подобные слагаемые: . Наконец, после сокращения дроби на 2, получаем . Этим доказано первое соотношение теоремы Виета для суммы корней квадратного уравнения. Переходим ко второму.

Составляем произведение корней квадратного уравнения: . Согласно правилу умножения дробей, последнее произведение можно записать как . Теперь выполняем умножение скобки на скобку в числителе, но быстрее свернуть это произведение по формуле разности квадратов, так . Дальше, вспомнив , выполняем следующий переход . А так как дискриминанту квадратного уравнения отвечает формула D=b2−4·a·c, то в последнюю дробь вместо D можно подставить b2−4·a·c, получаем . После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приходим к дроби , а ее сокращение на 4·a дает . Этим доказано второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Если опустить пояснения, то доказательство теоремы Виета примет лаконичный вид:,.

Остается лишь заметить, что при равном нулю дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень. Однако, если считать, что уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня, то равенства из теоремы Виета также имеют место. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен , тогда и , а так как D=0, то есть, b2−4·a·c=0, откуда b2=4·a·c, то .

На практике наиболее часто теорема Виета используется применительно к приведенному квадратному уравнению (со старшим коэффициентом a, равным 1) вида x2+p·x+q=0. Иногда ее и формулируют для квадратных уравнений именно такого вида, что не ограничивает общности, так как любое квадратное уравнение можно заменить равносильным уравнением, выполнив деление его обеих частей на отличное от нуля число a. Приведем соответствующую формулировку теоремы Виета:

Теорема.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену, то есть, x₁+x₂=−p, x₁·x₂=q.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 9. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

Если к примеру в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4×2 + 5x + 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3×2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2×2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2×2 разделить на 2, то полýчится x2

Далее если −3x разделить на 2, то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Квадратное уравнение и его корни

Давайте вспомним, как решается обычное квадратное уравнение. Сначала мы определяем его дискриминант по формуле: , затем мы сравниваем дискриминант с нулем:

1. Если , то уравнение имеет два разных корня, которые определяются по формулам: и
2. Если , то имеем два, совпадающих друг с другом корня: .
3. Если , то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте запишем уравнение и решим его.

Разделим левую и правую части на 2, получим приведенное квадратное уравнение:

Определим дискриминант: . Дискриминант больше нуля, значит, решением будут два корня:

и .

Сумма этих корней , а произведение . То есть сумма этих корней равна второму коэффициенту приведенного уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Проанализировав множество приведенных уравнений и сумм и произведений их корней, французский математик Франсуа Виет (1540—1603) открыл эту закономерность и доказал, что она справедлива для всех приведенных уравнений. Эту закономерность он назвал теоремой, которую мы теперь знаем, как теорему Виета. Она была доказана в 1591 году.