Номер 92

Алгебра 8 класс Макарычев4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателямиУпражнения №№ 73 — 107:

Задание № 73. Представьте в виде дроби:
а) х/2 + у/3;   б) c/4 – d/12;   в) a/b – b2/a;   г) 3/2x – 2/3x;
д) 5x/8y + x/4y;   е) 17y/24c – 25y/36c;   ж) 1/5a – 8/25a;   з) 3b/4c + c/2b.

Задание № 74. Выполните сложение или вычитание:

Задание № 75. Преобразуйте в дробь выражение:
a) (15a – b)/12a – (a – 4b)/9a; б) (7x + 4)/8y – (3x – 1)/6y.

Задание № 76. .

Задание № 77. .

Задание № 78. .

Задание № 79. .

Задание № 80. .

Задание № 81. .

Задание № 82. .

Задание № 83. .

Задание № 84. .

Задание № 85. .

Задание № 86. .

Задание № 87. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение выражения не зависит от у:
а) (5y + 3)/(2y + 2) – (7y + 4)/(3y + 3);   б) (11y + 13)/(3y – 3) + (15y + 17)/(4 – 4y).

Задание № 88. .

Задание № 89. .

Задание № 90. .

Задание № 91. .

Задание № 92. .

Задание № 93. .

Задание № 94. .

Задание № 95. .

Задание № 96. .

Задание № 97. .

Задание № 98. .

Задание № 99. .

Задание № 100. (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
а) (x3 + 3х)/(x + 2) – (3×2 – 14x + 16)/(x2 – 4) + 2x является положительным числом;
б) у + (2у2 + 3у + 1)/(y2 – 1) – (у3 + 2у)/(y – 1) является отрицательным числом.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто – задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

Задание № 101. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь (x2 + 7x – 25)/(x – 5) в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:
1) x + 5 + 7x/(x – 5)
2) x + 12 + 35/(x – 5)
3) –x + (2x – 25)/(x – 5)
4) x + (12x – 25)/(x – 5).
Укажите неверный ответ.

Задание № 102. .

Задание № 103. Две речные пристани А и Б расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t (ч) потребуется катеру на путь от А до Б и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при:
а) s = 50, v = 25;   б) s = 105, v = 40.

Задание № 104. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при s = 10, v = 6.

Задание № 105. Функция задана формулой у = (2x – 5)/3. Найдите значение функции при x, равном –2; 0; 16. При каком x значение функции равно 3; 0; –9?

Задание № 106. Постройте графики функций у = –4х + 1 и у = 2х – 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

Задание № 107. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую – 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?

Вы смотрели: Алгебра 8 класс УМК Макарычев. Упражнения №№ 73 — 107 из учебника с ответами и решениями. Глава 1. Рациональные дроби. п.4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Алгебра 8 Макарычев Упражнения 73-107 + ОТВЕТЫ.

Просмотров: 3 452

Сложение, вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Основное свойство алгебраической дроби – Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби одновременно умножать или делить на одно и то же. Хоть на многочлен, одночлен, число не 0, или на любое выражение.

Пример 4: Вычесть дроби$\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}$

• Умножим числитель и знаменатель 1-ой дроби $\frac{3}{a+b}$на знаменатель второго $2a$: дробь не изменится.
• Аналогично, во второй дроби $\frac{b-2}{2a}$на числитель первого $a+b$ : дробь останется прежным.
• Идея: Эти дроби не изменятся, но знаменатели станут одинаковыми — как произведение прежных … общий знаменатель.
• При этом числители каждой дроби приобретут свои дополнительные множители …. умножается на знаменатель другой дроби
• $\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}$Складываем по правилу …$\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left-\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
• Аккуратно упрощаем полученный числитель:$\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
• Шаги вычитания:$\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left-\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$

Правило:для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей: для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить .В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left+C\cdot\left}{B\cdot D}$$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left-(C)\cdot\left}{B\cdot D}$

Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения.

Сложение и вычитание с разными знаменателями

Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:

• найти общий знаменатель,
• привести алгебраические дроби к общему знаменателю,
• выполнить сложение или вычитание,
• сократить полученную дробь, если это возможно.

Пример 1. Выполните сложение дробей:

2a	+	b	.
a + b	a — b

Решение: Находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:

(a + b)(a — b).

Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:

2a(a — b) = 2a2 — 2ab;

b(a + b) = ab + b2.

Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:

2a	+	b	=	2a2 — 2ab	+	ab + b2	=
a + b	a — b	a2 — b2	a2 — b2

=	2a2 — 2ab + ab + b2	=	2a2 — ab + b2	.
a2 — b2	a2 — b2

Пример 2. Выполните вычитание дробей:

b	—	2	.
a2 — ab	a — b

Решение: Разложим знаменатель первой дроби на множители:

a2 — ab = a(a — b).

Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель  a:

2 · a = 2a.

Получаем:

b	—	2	=
a2 — ab	a — b

=	b	—	2a	=	b — 2a	.
a(a — b)	a(a — b)	a(a — b)

Пример 3. Выполните сложение:

x +	x2
1 — x	.

Решение: Запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю  1 — x:

x +	x2	=	x	+	x2	=
1 — x	1	1 — x

=	x(1 — x)	+	x2	=	x — x2	+	x2	.
1 — x	1 — x	1 — x	1 — x

Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

x — x2	+	x2	=	x — x2 + x2	=	x	.
1 — x	1 — x	1 — x	1 — x

Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.

Калькулятор сокращения дробей.

Калькулятор дробей – это онлайн вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Ведите числа в поля и вы увидите: как вычислить выражение дробей, как привести дроби к обыкновенному виду, как привести дроби к общему знаменателю, если знаменатели дробей равны, то можно сложить числители, полученную дробь можно сократить, полученную дробь можно привести к смешанному виду и соответственно ответ решения дробей. Наш онлайн калькулятор дробей, вычисляет дроби с пошаговым решением. Это очень удобно чтобы понять весь алгоритм. На этой станице вы найдете все ответы для решения дробей. Как решать обыкновенные дроби? Что такое числитель дроби? Что такое знаменатель дроби? Что такое правильные дроби? Что такое неправильные дроби? Как сократить дробь? Составные дроби. Онлайн калькулятор сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Умножение простых дробей. Умножение дроби на натуральное число. Умножение, деление смешанных дробей. Калькулятор сокращения дробей. Короче говоря наш онлайн калькулятор дробей умеет все!!!

Пользователи которые искали решение дробей онлайн.

Cложение и вычитание дробей с разными знаменателями онлайн. Решить пример с дробями, вычитание дробей онлайн, Сложение дробей с разными знаменателями калькулятор. Решатель дробей онлайн.

Калькулятор дробей онлайн +с решением 15 280, решение уравнений онлайн +с дробями 3 126, решить дроби онлайн решение 2 387, решение дробей онлайн 6 класс 2 328, решить дробь онлайн калькулятор +с решением 2 228, дроби калькулятор онлайн +с решением 6 2 035, онлайн калькулятор дробей +с решением 6 класс 1 957, решение степеней онлайн +с дробями 1 874, решение уравнений +с дробями онлайн калькулятор 1 774, решение дробей онлайн +с буквами 1 623, решение дробей онлайн калькулятор +с буквами 1 474, сократить дробь онлайн +с решением 1 433, сократить дробь онлайн калькулятор +с решением 1 405, решение выражений +с дробями онлайн 1 327, калькулятор дробей +и степеней +с решением 1 262, онлайн калькулятор решения выражений дробей 1 230, решение примеров онлайн +с дробями 1 021, подробное решение дробей онлайн 956, решение десятичных дробей онлайн 891, решение дробей со степенями 860, решить уравнение онлайн +с решением дроби 844.

Как упростить дробь. Решить уравнение дроби онлайн калькулятор +с решением 764, онлайн решение упростить выражение дроби 759, решение дробей со степенями онлайн калькулятор 758, калькулятор дробей упростить выражение онлайн +с решением 746, решение дробей онлайн 8 класс 638, решение десятичных дробей онлайн калькулятор 624, решение уравнений +с дробями онлайн 6 класс 553, решение примеров +с дробями онлайн калькулятор 546, решение дробей +с корнями онлайн 524, решения действий +с дробями онлайн 495.

Сложение дробей 6 класс примеры +с решением 465. Умножение дробей 6 класс примеры +с решением 462, алгебра решение примеров дроби 438, вычитание дробей 6 класс примеры +с решением 420, сложение +и вычитание дробей примеры +для решения 414, дроби примеры +для решения 5 класс 353, решение примеров +с десятичными дробями 6 класс 350.

Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:

а)	a + 3	+	a — 3	;
b	b

б)	2b — 1	+	b + 4	.
2	2

Решение: Складываем числители дробей и выполняем (если они есть):

а)	a + 3	+	a — 3	=	(a + 3) + (a — 3)	=
b	b	b

	=	a + 3 + a — 3	=	2a	;
b	b

б)	2b — 1	+	b + 4	=	(2b — 1) + (b + 4)	=
2	2	2

	=	2b — 1 + b + 4	=	3b + 3	.
2	2

Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:

а)	x + 5	—	5x	;
3	3

б)	a + b	—	a + 4	.
a — 5	a — 5

Решение: Вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)	x + 5	—	5x	=	x + 5 — 5x	=	5 — 4x	;
3	3	3	3

б)	a + b	—	a + 4	=	(a + b) — (a + 4)	=
a — 5	a — 5	a — 5

=	a + b — a — 4	=	b — 4	.
a — 5	a — 5

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:

a	+	b	=	a + b	и	a	—	b	=	a — b	,
c	c	c	c	c	c

где  c≠0.

Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:

a	=	—a	.
b	—b

Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на  -1.  Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:

a	=	—a	= —	a	= —	—a	.
b	—b	—b	b

Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:

—	a	=	—a	=	a	.
b	b	—b

Пример 1. Найдите сумму дробей:

5a	+	3a	.
b — c	c — b

Решение: Чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:

5a	+	3a	=	5a	—	3a	=
b — c	c — b	b — c	-(c — b)

=	5a	—	3a	=	2a	.
b — c	b — c	b — c

Пример 2. Найдите разность дробей:

n + 5	—	2n	.
n2 — m	m — n2

Решение: Чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:

n + 5	—	2n	=	n + 5	+	2n	=
n2 — m	m — n2	n2 — m	-(m — n2)

=	n + 5	+	2n	=	3n + 5	.
n2 — m	n2 — m	n2 — m

Сложение, Вычитание алгебраических дробей с числовыми знаменателями

Пример 3: Вычесть дроби.$\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}$

• Смотрим на знамeнатели: к какому общему знаменателю можем привести? НОК — наименьшее число, кратное 18 и 12.
• НОК этих чисел 36. Какие дополнительные множители? К первой дроби 2, а ко второй дроби 3.
• $\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}=\frac{5x\cdot\left}{36}-\frac{7y\cdot\left}{36}=\frac{10x-21y}{36}$
• Замечание: фактически, мы умножили числитель и знаменатель 1-ой дроби на 2; Аналогично для 2-ой дроби на 3. «основное свойство»
• Таким образом получили в обеих дробьях одинаковые знаменатели, 36 и 36. И сложение-вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило:1. найти Н.О.К их знаменателей. Это и будет общим знаменателем…2. найти дополнительные множители для каждой дроби по-отдельности: = ( Общее ) : (его знаменатель) 3. вычислить числители «приведенных» дробей: =(старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .

Алгебра

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 1. Сложим дроби .

Решение: Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а3b4. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b3 и 2а2.

Имеем

Пример 2. Преобразуем разность .

Решение: Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Простейшим общим знаменателем служит выражение ab(a + b). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 3. Упростим выражение .

Решение: Представим выражение а — 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

Упражнения

73. Представьте в виде дроби:

74. Выполните сложение или вычитание:

75. Преобразуйте в дробь выражение:

76. Выполните сложение или вычитание:

77. Представьте в виде дроби:

78. Преобразуйте в дробь выражение:

79. Выполните вычитание дробей:

80. Преобразуйте в дробь выражение:

81. Преобразуйте в дробь выражение:

82. Представьте в виде дроби:

83. Упростите выражение:

84. Представьте в виде дроби:

85. Преобразуйте в дробь выражение:

86. Выполните сложение или вычитание дробей:

87. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение выражения не зависит от у.

88. Упростите выражение:

89. Упростите выражение:

90. Преобразуйте в дробь выражение:

91. Выполните вычитание дробей:

92. Выполните сложение или вычитание дробей:

93. Преобразуйте в дробь выражение:

94. Упростите выражение:

95. Упростите выражение и найдите его значение при х = -1,5:

96. Представьте в виде дроби:

97. Преобразуйте в дробь выражение:

98. Упростите выражение:

99. Докажите, что тождественно равны выражения:

100. (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:

     1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
     3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

101. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:

     Укажите неверный ответ.

102. Докажите тождество

     Используя это тождество, упростите выражение

103. Две речные пристани А и B расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t (ч) потребуется катеру на путь от А до Б и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при:

     а) s = 50, v = 25;
     б) s = 105, v = 40.

104. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при s = 10, v = 6.

105. Функция задана формулой у = . Найдите значение функции при х, равном -2; 0; 16. При каком х значение функции равно 3; 0; -9?

106. Постройте графики функций у = -4х + 1 и у = 2х — 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

107. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

2. Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах:

Сложение, Вычитание алгебраических дробей: Одинаковые знаменатели

Правило: Сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями равен дроби с таким же знаменателем, а в числителе надо сложить/вычесть числители исходных дробей.

• Общая форма для такого сложения/вычитания$\frac{A}{D}+\frac{B}{D}=\frac{A+B}{D}$$\frac{A}{D}-\frac{B}{D}=\frac{A-(B)}{D}$

• Внимательно: при знаке «-» следует заключать в скобки $\frac{A}{D}-\frac{B-C}{D}=\frac{A-\left(B-C\right)}{D}$

• Каждый числитель со своим знаком и в скобках: $\frac{A}{D}-\frac{B}{D}+\frac{C}{D}-\frac{K}{D}=+\frac{\left(A\right)-\left(B\right)+\left(C\right)-\left(K\right)}{D}$

• Противоположные Знаменатели, надо «поменять знак»:$\frac{5}{y-4}-\frac{1}{4-y}=\frac{5}{y-4}-\frac{1}{-\left(y-4\right)}=\frac{5}{y-4}+\frac{1}{y-4}=\frac{\left(5\right)+\left(1\right)}{y-4}$

Пример 2: $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}$

• Смотрим на знаменатели:$3a-b$и$b-3a$ . Противоположные! Нехитро меняем знак:$b-3a=-\left(3a-b\right)$
• Поменяем знаменатель 3-ей дроби на противоположное:$\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}$
• «Перебросим знак вперед»:$\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}$- теперь, все знаменатели одинаковые.
• Складываем числители:$\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}$ — каждый в своей скобке и со своим знаком.
• Раскрываем аккуратно скобки и упрощаем$=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$.Итого:
• $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}=\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$

Напоминание о числовых дробях: Сложение, Вычитание, Сравнение.

Правило:Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

• привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
• сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби

Пример 1: Дроби: $\frac{2}{3}$и$\frac{3}{5}$.Сложить, Вычесть, Сравнить.

• Сложение дробей:$\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$ .
• приведем дроби к наименьшему общему знаменателю15.
• Сложим $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}+\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}=1\frac{4}{15}$
• Вычитание дробей:$\frac{2}{3} — \frac{3}{5}$ .
• $\frac{2}{3} -\frac{3}{5}= \frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}-\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}-\frac{9}{15}=\frac{10-9}{15}=\frac{1}{15}$
• Сравнение дробей:$\frac{2}{3}$и$\frac{3}{5}$.
• первая дробь равна$\frac{10}{15}$, вторая$\frac{9}{15}$ .При одинаковых знаменателях у первой дроби числитель больше:
• $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$$\Rightarrow$$\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$ .

Правило:привести дроби кнаименьшему общему знаменателю-значит выполнить следующее:

• найтиН.О.Ких знаменателей. …(наименьшее число, которое делится на оба знаменателя!)
• найти дополнительный множитель для каждой дроби по-отдельности: = ( Н.О.К ) : (его знаменатель) !
• вычислить числитель новой дроби: =(старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .

Чем порадует учеников алгебра в 8 классе?

Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры — предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)».

Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как:

1. Действия с алгебраическими дробями.
2. Преобразование рациональных уравнений.
3. Теория вероятности.
4. Модуль числа.
5. Линейные и квадратные неравенства.
6. Комбинаторность, и т.д.

Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий.

Решебник — уникальное учебное пособие

У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим — гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича.

В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф:

• верные ответы на все номера;
• доскональные решения;
• подробные наглядные примеры;
• дополнительные примечания.

Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты.

Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича?

Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г. позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил.

Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:

1. никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;
2. домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;
3. сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;
4. если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.

Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит.

Решебник для 8 класса по алгебре – гарантия отличного выполнения домашнего задания

В восьмом классе школьникам важно уметь быстро и качественно выполнять многочисленные домашние задания, а их родителям – контролировать подростков в выполнении алгебраических упражнений. Достичь этой цели можно, не приглашая репетиторов с высокими почасовыми ставками: достаточно воспользоваться сайтом онлайн-решений

Что получается в итоге? Задание выполнено на «отлично», школьник разобрался с примером и готов решить аналогичное задание на контрольной или экзамене, а родители уверены в его хорошей успеваемости.

В чем удобство сайта ГДЕ ГДЗ?

• Достаточно найти нужный решебник через поиск и кликнуть номер задания в таблице, чтобы получить развернутое решение примера с готовым ответом;
• Все решения составлены с учетом требований Министерства Образования РФ;
• Найти готовый ответ и комфортно ознакомиться с ним можно с любого гаджета – смартфона, планшета, компьютера;
• На ресурсе собраны только самые свежие и актуальные версии решебников;
• На один номер ответа может приходиться несколько вариантов решения задачки или примера.

На нашем сайте нет рекламы, которая запускается автоматически и мешает просмотру материалов, мы не перенаправляем пользователя на сторонние ресурсы, не требуем просмотра видеороликов. Использование базы домашних заданий не требует регистрации – она доступна бесплатно в круглосуточном режиме.

Сложение, вычитание алгебраических дробей: Наименьший Общий Знаменатель

Пример 5: $\frac{3}{10c^5}+\frac{2}{15c^3}$

• Нам нужно найти наименьший, наилучший общий знаменатель. Для поиска такого «заглянем внутрь» каждого знаменателя.
• Разложим знаменатели $10c^5$и$15c^3$на множители:$10c^5=2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2$ ,$15c^3=3\cdot5\cdot c^3$
• Преобразуем знаменатели $\frac{3}{2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2}+\frac{2}{3\cdot5\cdot c^3}$ . У каждого обнаружился множитель$5\cdot c^3$
• Первый состоит из множителей$\left$и$5\cdot c^3$/$ .А второй состоит из множителей$3$и$5\cdot c^3$.
• Сконструируем наименьшее общее:$(\left) \cdot (5\cdot c^3) \cdot (3) $- здесь учтен общее $5\cdot c^3$ один раз!
• Если первую дробь, его числитель и знаменатель умножить на дополнительный множитель $3$, то получится нужный знаменатель.
• Аналогично, если во второй дроби умножать на дополнительный множитель $\left$, то и у нее будет такой же знаменатель.
• Сложим дроби с общим знаменателем:$\frac{3\cdot\left+2\cdot\left}{2c^2\cdot3\cdot5c^3}$ — числители умножены на свои дополнительные множители.
• Упростим:$\frac{3}{10c^5}+\frac{2}{15c^3}=\frac{3}{2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2}+\frac{2}{3\cdot5\cdot c^3}=\frac{3\cdot\left+2\cdot\left}{2c^2\cdot3\cdot5c^3}=\frac{9+4c^2}{30c^5}$

Правило:Приведение к наименьшему общему знаменателю .

$\frac{A}{B\cdot M}+\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left+C\cdot\left}{B\cdot D\cdot M}$$\frac{A}{B\cdot M}-\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left-C\cdot\left}{B\cdot D\cdot M}$

1. Разложить знаменатели каждой дроби на множители.($B\cdot M$и$D\cdot M$)
2. Собрать все общие множители ($M$), в каждом знаменателе общий множитель отделить от других множителей: ($B$и $D$)
3. Сконструировать наименьший общий знаменатель как произведения множителей каждого … общее:$B\cdot D\cdot M$
4. … при этом общий множитель($M$)учитывать лишь один раз!
5. Дополнительными множителями для каждой дроби будет _недостающие до общего_ множители:($D$ и $B$)

Дополнительный множитель – результат деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них своеобразными «палочками». Полезнее писать в «особых скобках».

Пример 6: упростить$\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}$

• Разложим знаменатели:$x^2-6xy+9y^2$ — по формуле квадрата разности; $2x-6y$ — вынесем множитель $2$ за скобки.
• $\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}$ — знаменатели представлены множителями.
• Используем формулу сложения с НОК: $\frac{A}{B\cdot M}-\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left-C\cdot\left}{B\cdot D\cdot M}$ Общий множитель$M=x-3y$ ;
• Кроме общего, у 1-го еще$B=x-3y$, у 2-го $D=2$ ;Наименьший знаменатель: $B\cdot D\cdot M=\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)$
• Реализуем:$\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}=\frac{x^2\cdot\left-\left(x+3y\right)\left}{\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)}$
• Упростим, в числителе используем формулу разности квадратов: $\frac{2x^2-\left(x^2-9y^2\right)}{2\left(x-3y\right)^2}=\frac{x^2+9y^2}{2\left(x-3y\right)^2}$
• Итого:$\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}=\frac{x^2\cdot\left-\left(x+3y\right)\left}{\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)}=\frac{2x^2-\left(x^2-9y^2\right)}{2\left(x-3y\right)^2}=\frac{x^2+9y^2}{2\left(x-3y\right)^2}$