Действия над комплексными числами
Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i
Примеры операций с комплексными числами:
$$\frac{\left(1+i\right)\left(3+i\right)}{3-i}-\frac{\left(1-i\right)\left(3-i\right)}{3+i}$$ (найти разность комплексных чисел)
$$\left(1-i\right)^3+\left(1+i\right)^3$$ (найти сумму комплексных чисел)
$$\left(-2+3i\right)\left(5+4i\right)$$ (найти произведение комплексных чисел)
$$\frac{-5-6i}{-6i}$$ (найти частное комплексных чисел)
$$\left(-2+2i\right)^9$$ (выполнить возведение комплексного числа в степень)
$$\frac{\left(-7-8i\right)i^7}{\left(4-5i\right)\left(-3+i\right)}-\frac{4+4i}{-2-5i}$$ (выполнить действия над комплексными числами)
Пояснения к калькулятору
- Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
- Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
- ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
- C — очистить поле ввода.
- При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
- Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
- Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.
Вычисление выражений с логарифмами
В калькуляторе кнопкой loge(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: loge(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$
Примеры решений выражений с логарифмами:
$$\log _3\left(5x-1\right)=2$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}=2$$ (решить уравнение)
$$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)
Алгебра 8 Мордкович (упр. 24.1 — 24.55)
§ 24. Функция у = ах2 + bх + с, её свойства и график
Задание № 24.1. Какая из следующих функций является квадратичной:
а) у = 3×2 + 5х + 6; в) у = 5х2 – 7х;
б) у = 3х – 1; г) у = 9x ?
Задание № 24.2. Назовите коэффициенты a, b и с квадратичной функции:
а) у = 7х2 – 3x – 2; в) у = 8×2 – 2х;
б) y = x2/2 + 1; г) y = 2x/5 + 1/7 – 3×2/10.
Задание № 24.3. Составьте квадратный трехчлен ах2 + bх + с, у которого:
а) а = 2, b = –1, с = 4; в) а = 9, b = –3, с = –1;
б) а = –1, b = 7, с = 0; г) а = 1, b = 0, с = 5.
Задание № 24.4. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы:
а) у = Зх2 – 7х + 1; в) у = –7х2 + х – 2;
б) у = —5×2 + 2x + 0,5; г) y = 6х2 + 9х + 1.
Задание № 24.5. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы:
а) у = 2х2 – х + 1; в) у = 7х2 + 12x + 4;
б) у = –5х2 + 2х – 2; г) у = –х2 + 2x + 1.
Задание № 24.6. Найдите координаты вершины параболы:
а) у = 4×2 + 8x – 1; в) у = –x2 + х – 1;
б) у = –3х2 – 6х + 2; г) у = 5×2 – 10x + 4.
Задание № 24.7.
Задание № 24.8.
Задание № 24.9.
Задание № 24.10.
Задание № 24.11.
Задание № 24.12.
Задание № 24.13.
Задание № 24.14.
Задание № 24.15.
Задание № 24.16.
Задание № 24.17.
Задание № 24.18. Постройте график функции у = х2 + 4х – 5. С помощью графика определите:
а) значение функции при х = –3; 0; 1;
б) значения аргумента, если у = –8; –5; 0;
в) наименьшее значение функции;
г) промежутки возрастания и убывания функции;
д) значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.
Задание № 24.19. Постройте график функции у = –2×2 + 4х + 6. С помощью графика определите:
а) значение функции при х = –2; 0; 3;
б) значения аргумента, если у = –10; 6; 0;
в) наибольшее значение функции;
г) промежутки возрастания и убывания функции;
д) значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.
Задание № 24.20.
Задание № 24.21.
Задание № 24.22.
Задание № 24.23.
Задание № 24.24.
Задание № 24.25.
Задание № 24.26.
Задание № 24.27.
Задание № 24.28. а) Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции у = х2 + 4х + с пересекает ось ординат в точке А(0; 2).
б) Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции у = х2 + 4х + с пересекает ось ординат в точке В(0; 4).
Задание № 24.29. а) Найдите значение коэффициента а, если известно, что график функции у = ах2 + 4х + 5 пересекает ось абсцисс в точке М(–10; 0).
б) Найдите значение коэффициента а, если известно, что график функции у = ах2 + 4х – 8 пересекает ось абсцисс в точке N(4; 0).
Задание № 24.30. ) Найдите значение коэффициента b, если известно, что осью симметрии графика функции у = х2 + bх + 4 является прямая х = 1.
б) Найдите значение коэффициента b, если известно, что осью симметрии графика функции у = 2×2 + bх – 3 является прямая х = –4.
Задание № 24.31. Докажите, что функция у = х2 – 4х + 5 является возрастающей на промежутке (3; 12).
Задание № 24.32. Докажите, что функция у = х2 + 6х – 7 является убывающей на промежутке (–8; –5).
Задание № 24.33.
Задание № 24.34.
Задание № 24.35.
Задание № 24.36.
Задание № 24.37.
Задание № 24.38.
Задание № 24.39.
Задание № 24.40.
Задание № 24.41.
Задание № 24.42.
Задание № 24.43.
Задание № 24.44.
Задание № 24.45.
Задание № 24.46.
Задание № 24.47.
Задание № 24.48.
Задание № 24.49.
Задание № 24.50.
Задание № 24.51.
Задание № 24.52.
Задание № 24.53.
Задание № 24.54.
Задание № 24.55.
Вы смотрели: Алгебра 8 класс. Часть 2 (Задачник) УМК Мордкович (2018-2020). ГЛАВА 3. Квадратичная функция. Функция у = k/x. § 24. Функция у = ах2 + bх + с, её свойства и график. ОТВЕТЫ на упражнения 24.1 — 24.55. Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ.
Просмотров: 84 857
Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители
Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.
Примеры:
$$x^4+x^2a^2+a^4$$ (разложить на множители)
$$\frac{6x^3-24x^2}{6x^3}$$ (разложить на множители)
$$(5x-2y^2)(5x+2y^2)$$ (раскрыть скобки)
$$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$$ (раскрыть скобки)
$$\frac{a^3-8}{a^2+2a+4}$$ (раскрыть скобки)
$$\frac{\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)}{\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)}+\frac{8a^2}{2a+b}$$ (упростить выражение)
$$\frac{1-\sin ^4\left(x\right)-\cos ^4\left(x\right)}{2\sin ^4\left(x\right)}+1$$ (упростить выражение)
$$\left(\sqrt{a}-\frac{a}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}}$$ (упростить выражение)
Решение интегралов
Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:∫ f(x) — для неопределенного интеграла;ba∫ f(x) — для определенного интеграла.
В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.
Примеры вычислений интегралов:
$$\int \left(\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6}\right)dx$$ (найти интеграл функции)
$$\int \left(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\right)dx$$ (решить интеграл)
$$\int \left(\left(x^2+3x+5\right)\cos 2x\right)dx$$ (вычислить интеграл)
$$\int \left(\frac{x+\arccos ^2\left(3x\right)}{\sqrt{1-9x^2}}\right)dx$$ (решить интеграл)
$$\int _1^{e^3}\left(\frac{1}{x\sqrt{1+\log \left(x\right)}}\right)dx$$ (найти интеграл функции)
$$\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left(\sin 6x\sin 7x\right)dx$$ (решить интеграл)
$$\int _{+\infty }^{-\infty }\left(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}\right)dx$$ (решить интеграл)
$$\int _1^2\left(x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)dx$$ (вычислить интеграл)
Решение уравнений и неравенств
Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной «x». Если есть необходимость найти другую переменную, например «y», то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных «x»,»y»,»z» производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x, y, z.
Примеры решений уравнений и неравенств:
$$\frac{5}{12}+\frac{x}{6}=\frac{x}{4}+\frac{1}{3}$$ (решить уравнение)
$$x^2+12x+36=0$$ (решить уравнение)
$$\left(x+8\right)^2=x^2+8$$ (решить уравнение)
$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)=4$$ (решить уравнение)
$$\frac{19-x^2-4x}{49-x^2}(решить неравенство)
$$\frac{x}{3}+\frac{2x-1}{5}>2x-\frac{1}{15}$$ (решить неравенство)
$$\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+7\right)\left(x+3\right)^3}{x^2+6x+9}\ge 0$$ (решить неравенство)