ГЛАВА 3. Квадратные уравнения
§19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений
Вопросы
1. Какое уравнение называют линейным?
Ответ:
2. Какое уравнение называют уравнением первой степени?
Ответ:
3. Приведите пример линейного уравнения, являющегося уравнением первой степени, и пример линейного уравнения, которое не является уравнением первой степени.
Ответ:
4. Какое уравнение называют квадратным?
Ответ:
5. Как называют коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?
Ответ:
6. Какое квадратное уравнение называют приведенным?
Ответ:
7. Какое квадратное уравнение называют неполным?
Ответ:
8. Какие существуют виды неполных квадратных уравнений? Какие корни имеет уравнение каждого вида?
Ответ:
Немного об учебнике алгебры авторов Мерзляк, Полонский, Якир
В учебнике можно встретить задания, связанные с вычислениями дробей, при этом это и сложение, и вычитание, и умножение, и деление. Собственно, этот материал призван в первую очередь укрепить и усовершенствовать навыки по вычислению дробей. Также можно будет встретить задания с вычислением аргумента функций. То есть, когда есть пара неизвестных и при условном «вбрасывании» значений для одного из них получаем значение для второго. Далее будут встречаться задачи с весьма нетривиальными дробями, а после — еще сложнее: это системы уравнений – функций, где есть степени, где есть несколько неизвестных, и для всех надо найти свои корни, то есть точки соприкосновения этих функций.
В целом, учебник вполне соответствует уровню 8 класса и готовит всех отроков к великим открытиям и фундаментальным знаниям, если они все-таки овладеют всеми теми навыками, которые учебник хочет им дать, донести до них. Мы же продолжим далее уже рассказывать об ответах.
ГДЗ к данному учебнику смотрите здесь: https://math-helper.ru/reshebniki-po-matematike/gdz-k-uchebniku-merzlyak-a-g-polonskiy-v-b-galgebra-8-klass-onlayn
Оглавление От авторов …3 Глава 1. Рациональные выражения § 1. Рациональные дроби …5 § 2. Основное свойство рациональной дроби …10 § 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями …19 § 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями …24 Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме …33 § 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень …35 § 6. Тождественные преобразования рациональных выражений …41 Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме …49 § 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения …51 § 8. Степень с целым отрицательным показателем …59 § 9. Свойства степени с целым показателем …67 § 10. Функция у = — и её график …75 Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме …85 Итоги главы 1 …86 Глава 2. Квадратные КОРНИ. Действительные числа § 11. Функция у = х2 и её график …89 § 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень …94 Растут ли в огороде радикалы? …104 § 13. Множество и его элементы …105 § 14. Подмножество. Операции над множествами …109 § 15. Числовые множества …116 Открытие иррациональности …124 § 16. Свойства арифметического квадратного корня …126 § 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни …133 § 18. Функция у = yjx и её график …144 Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме …151 Итоги главы 2 …152 Глава 3. Квадратные уравнения § 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений …155 § 20. Формула корней квадратного уравнения …162 § 21. Теорема Виета …170 Задание № 5 «Проверьте себя» в тестовой форме …179 § 22. Квадратный трёхчлен… 180 § 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям …186 Решение уравнений методом замены переменной …191 Секретное оружие Сципиона дель Ферро …194 § 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций …195 Задание № 6 «Проверьте себя» в тестовой форме …202 Итоги главы 3 …204 Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса …206 Сведения из курса алгебры 7 класса …219 Проектная работа …233 Дружим с компьютером …237 Ответы и указания к упражнениям …243 Ответы к заданиям «Проверьте себя» в тестовой форме …249 Алфавитно-предметный указатель …251
ГЛАВА 1. Рациональные выражения
§1. Рациональные дроби
Вопросы
1. Чем отличаются дробные выражения от целых?
Ответ:
2. Как вместе называют целые и дробные выражения?
Ответ:
3. Какие значения переменных называют допустимыми?
Ответ:
4. Какие дроби называют рациональными?
Ответ:
5. Отдельным видом каких выражений являются рациональные дроби?
Ответ:
6. Какой многочлен не может быть знаменателем рациональной дроби?
Ответ:
Упражнения
1. Какие из выражений$\frac{3a^2}{4b^3}$,$\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}$,$\frac{8}{6n + 1}$,$3a — \frac{b^2}{c^4}$,$\frac{t^2 — 6t + 15}{2t}$,$\frac{x — 2}{x + 2}$,$\frac{1}{6}m^3n^5$,$(y — 4)^3 + \frac{1}{y}$,$\frac{m^2 — 3mn}{18}$являются:1) целыми выражениями;2) дробными выражениями;3) рациональными дробями?
Решение:
2. Чему равно значение дроби $\frac{c^2 — 4c}{2c + 1}$, если:1) c = −3;2) c = 0?
Решение:
3. Найдите значение выражения $\frac{2m — n}{3m + 2n}$, если:1) m = −1, n = 1;2) m = 4, n = −5.
Решение:
4. Чему равно значение выражения:1) $\frac{a^2 — 1}{a — 5}$ при a = −4;2) $\frac{x + 3}{y} — \frac{y}{x + 2}$ при x = −5, y = 6?
Решение:
Алгебра 8 класс (Мерзляк) Контрольная работа № 5
Ответы на контрольную работу № 5
№ 1. Решите уравнение: 1) 7х2 – 21 = 0; 2) 5х2 + 9х = 0; 3) х2 + х – 42 = 0; 4) 3х2 – 28х + 9 = 0; 5) 2х2 – 8х + 11 = 0; 6) 16х2 – 8х + 1 = 0.Правильный ОТВЕТ: 1) x1 = –√3; x2 = √3; 2) x1 = 0; x2 = –1,8; 3) x1 = 6; x2 = –7; 4) x1 = 9; x2 = 1/3; 5) нет корней; 6) х = 1/4.
№ 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна –10, а произведение — числу 8.Правильный ОТВЕТ: х2 + 10х + 8 = 0.
№ 3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.Правильный ОТВЕТ: 12 см; 16 см.
№ 4. Число –3 является корнем уравнения 2х2 + 7х + с = 0. Найдите значение с и второй корень уравнения.Правильный ОТВЕТ: с = 3; х2 = –1/2.
№ 5. При каком значении а уравнение 3х2 – 6х + а = 0 имеет единственный корень?Правильный ОТВЕТ: а = 3.
№ 6. Известно, что х1 и х2 — корни уравнения х2 +12х + 6 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения х12 + х22.Правильный ОТВЕТ: 132.
Нажмите на спойлер ниже, чтобы увидеть решения всех заданий.
Смотреть РЕШЕНИЯ заданий в тетради
Задания и ответы на Вариант 2
№ 1. Решите уравнение: 1) 4х2 – 20 = 0; 2) 3х2 + 5х = 0; 3) х2 – 5х –24 = 0; 4) 7х2 – 22х + 3 = 0; 5) 7х2 – 6х + 2 = 0; 6) 4х2 + 12х + 9 = 0.Правильный ОТВЕТ: 1) x1 = –√5; x2 = √5; 2) x1 = –5/3; x2 = 0; 3) x1 = –3; x2 = 8; 4) x1 = 1/7; x2 = 3; 5) нет корней; 6) х = –1,5.
№ 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение — числу 4.Правильный ОТВЕТ: х2 – 6х + 4 = 0.
№ 3. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.Правильный ОТВЕТ: 9 см; 12 см.
№ 4. Число 4 является корнем уравнения 3х2 + bх + 4 = 0. Найдите значение b и второй корень уравнения.Правильный ОТВЕТ: b = –5; х2 = 1.
№ 5. При каком значении а уравнение 2х2 – 8х + а = 0 имеет единственный корень?Правильный ОТВЕТ: а = 8.
№ 6. Известно, что х1 и х2 — корни уравнения х2 + 10х – 4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения х12 + x22.Правильный ОТВЕТ: 108.
Задания и ответы на контрольную работу № 5 по Алгебре в 8 классе, которая используется в комплекте с учебником «Алгебра 8 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) системы «Алгоритм успеха». КР-5 Алгебра 8 Мерзляк с ответами.
Как пользоваться ответами к решебнику
Что же на счет ответов, то здесь у нас все просто и при этом максимально подробно. Это мы к тому, что мы максимально досконально разбили весь материал, можно сказать, на отдельные ответы к каждому заданию. Поэтому, если вы действительно знаете, что вам задали и выберите нужную вкладку, то увидите и то, что вам надо. Собственно, мы говорим о том, как решается тот или иной пример, задача, уравнение. Ну и само собой, глядя на это решение можно будет свериться с тем, что есть у вас или просто не думая списать. Как тут поступать, решать вам.
Ну и самое важное, так это надо сказать о том, что если вы даже спишете или сверитесь, не важно какой путь выберите, но если все будет так как у нас, то есть будут правильные ответы, то и ваши оценки будут высокими. Вы получите 4 и 5, что, собственно, и хочет каждый нормальный школьник и чего мы, собственно, вам и желаем
ГЛАВА 2. Квадратные корни. Действительные числа
§11. Функция y = x^2 и ее график
Вопросы
1. Что является областью определения функции $y = x^2$?
Ответ:
2. Что является областью значений функции $y = x^2$?
Ответ:
3. При каком значении аргумента значение функции $y = x^2$ равно нулю?
Ответ:
4. Какая фигура является графиком функции $y = x^2$?
Ответ:
5. Как называют функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает равные значения?
Ответ:
6. Какая прямая является осью симметрии параболы $y = x^2$?
Ответ:
Упражнения
350. Функция задана формулой $y = x^2$. Найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно:−6; 0,8; −1,2; 150;2) значение аргумента, при котором значение функции равно:49; 0; 2500; 0,04.
Решение:
351. Не выполняя построения графика функции $y = x^2$, определите, проходит ли этот график через точку:1) A(−8; 64);2) B(−9; −81);3) C(0,5; 2,5);4) D(0,1; 0,01).
Решение:
Математика в нашей жизни
Итак, что касается математики, то весь мир практически пронизан всевозможными формулами, вычислениями, функциями, всем тем, что держит нам опоры мостов, позволяет рассчитывать бюджет страны, проводить аналитические заключения по планируемым курсам на рынках и в экономике, и все это посредством той самой математики. Той математики, которая в 1 классе начинается с примеров типа 2+2, а во взрослой жизни становится нашим надежным, верным и, самое главное, эффективным помощником. При этом надо заметить, что этот помощник у каждого свой и зависит вовсе не от исследований в сфере математики, так как не многие даже взрослые знают ее идеально, а более от среднестатистических знаний, плюс–минус. И за редким исключением полных профанов, для которых математика — не то что совсем не крепкая опора, а не тянет даже на кривую непрочную клюку, как у бабушек, сидящих у подъезда и делающих свои прогнозы и заключения, не имея никакого представления об этой науке. Что же, если вы все-таки видите себя полноценным членом общества, то знания предмета хотя бы на уровне средней школы вам точно будут нужны.
У нас речь пойдет даже не о выпускных классах, где математика действительно приобретает уже вид науки, а всего лишь о восьмом классе. Именно об учебнике за 8 класс, который мы будем рассматривать в статье, сейчас немного и поговорим.
Как и когда пользоваться ГДЗ-ответами по математике
Так вот, не зря речь зашла о знаниях и навыках, ведь они могут быть бутафорскими, словно папье-маше и сарай из соломы, а могут быть железобетонным фундаментом, на котором вполне сможет устоять весьма элегантный, красивый, со сводами потолков по линии квадратичных функции, дворец ваших математических знаний!
А все это к тому, что вам выбирать и вам решать, как же относиться к нашим ответам. Кто-то их будет использовать повсеместно, не только сверяясь, но и просто списывая. Кто-то же будет использовать их разумно, используя как информацию для уточнения всего того, что он уже сделал сам, то есть проверять по ГДЗ свои домашние задания, работы. Какой из этих способов и алгоритмов вам выбрать, решайте сами, знайте только, что легкость получения оценок за счет сокращения усилий на затрату в пользу знаний аукается, как правило, именно тогда, когда дело доходит до практического применения.
«Формула корней квадратного уравнения»
Технологическая карта урока «Формула корней квадратного уравнения» составлена в соответствии с УМК Алгебра 8 класс авторов А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Тип урока: Урок закрепления знаний. Планируемые результаты: учащийся научится исследовать количество корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта, находить дискриминант и корни квадратных уравнений различных видов. При составлении использовались интернет ресурсы единой цифровой коллекции, видеоурок.
Просмотр содержимого документа «»Формула корней квадратного уравнения» »
Технологическая карта урока
Тема урока: «Формула корней квадратного уравнения»
Тип урока: Урок закрепления знаний
Предметные: закрепить навыки применения формулы дискриминанта квадратного уравнения, корней квадратного уравнения.
Личностные: развивать навыки самостоятельной работы, анализа своей работы, формировать способность осознанного выбора и построения дальнейшей индивидуальной траектории обучения.
Метапредметные: формировать умения определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией.
Планируемые результаты: учащийся научится исследовать количество корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта, находить дискриминант и корни квадратных уравнений различных видов.
Основные понятия: квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение, дискриминант квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения.
Этапы проведения урока
Методы, приемы, формы.
Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению планируемых результатов
Дидактические материалы, ЭОР.
Проверяет готовность учащихся к уроку, обеспечивает позитивный настрой.
Приветствуют учителя, проверяют наличие учебных принадлежностей.
Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности
Сообщает тему урока. Исходя из темы урока просит поставить цель и
Выбрать из слов перечисленных ниже те которые могут стать девизом урока : хочу, вспомню, делаю,постараюсь, не получается, выучу, могу, умею.( цель урока: закрепить алгоритмом решения полного квадратного уравнения, девиз: хочу, могу, умею, делаю )
Учащиеся записывают тему урока, формулируют его цель, выбирают слова для девиза.
Проверка домашнего задания.
Выясняет какие из заданий вызвали затруднения у учащихся.
Учащиеся, справившиеся с заданием, показывают решение, если таких учащихся нет, то объясняет учитель.
Учитель задает вопросы:
1.Вспомнить основные типы квадратных уравнений. Из имеющегося списка квадратных уравнений выпишите номера уравнений, принадлежащих определенному виду. Возможны варианты: Полные квадратные: 1,3,4,5,6,9,11. Неполные квадратные: 2,7,8,10,12,13. Приведенные: 1,4,6,9,11. Неприведенные: 3,5. С четным вторым коэффициентом: 1,4.
2. Записать формулы корней квадратного уравнения для каждого типа уравнений.
Из предложенных уравнений выбирают принадлежащие определенному виду.
Слайд с записанными уравнениями
Закрепление изученного материала
1.Предлагает работу с ЭОР
2. Записывает номера из учебника для классной работы
1.Выполняют задание в тетради комментируя свои вычисления классу.
Первичный контроль и коррекция знаний
Предлагает выполнить тест, распечатанный на отдельном листе, выполнить взаимопроверку.
Тест(один из вариантов)
1. Укажите верное утверждение: 1) Квадратное уравнение, у которого коэффициент а=1, называется приведенным. 2) Квадратное уравнение, у которого коэффициент а=1, называется неприведенным. 3) Квадратное уравнение, у которого коэффициент а=1, называется неполным. 2. Какие из чисел являются корнями уравнения 2х2 + 5х – 3 = 0. 1) 3; 0,5 2) –0,5; -3 3) 0,5; -3 4) 1; 0 3. Найдите дискриминант квадратного уравнения
х2 – 6х + 9 = 0. 1) 2 2) 9 3) 0 4) 36
укажите количество корней.4. Найдите наибольший корень уравнения 5х2 – 7х + 2 = 0. 1) 0,4 2) 1 3) –1 4) 2
Самостоятельная работа с взаимопроверкой
Учитель просит продолжить следующее предложение : «Я работал на уроке на оценку…»
«Я думаю домашнее задание будет для меня
Ученики отвечают на вопросы учителя.
Информация о домашнем задании.
Записывает и комментирует домашнее задание
Записывают домашнее задание. Задают вопросы.
№ 664, 667, 671,699, видеоурок.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ПЛАНУ-КОНСПЕКТУ УРОКА
«Формула корней квадратного уравнения» Таблица 2.
Тип, вид ресурса
Гиперссылка на ресурс
Применение формул корней квадратного уравнения
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класс
839. Найдите значение выражения:1) $\frac{3m — n}{m + 2n}$, если m = −4, n = 3;2) $\frac{a^2 — 2a}{4a + 2}$, если a = −0,8.
Решение:
840. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:1) 7b − 11;2) $\frac{9}{x}$;3) $\frac{5}{2 — y}$;4) $\frac{m — 3}{7}$;5) $\frac{3 + t}{4 — t}$;6) $\frac{2x}{x — 1} — \frac{3}{x — 6}$;7) $\frac{5}{x^8 + 3}$;8) $\frac{x — 2}{|x| + 7}$;9) $\frac{4}{x^2 — 25}$;10) $\frac{3}{|x| — 5}$;11) $\frac{x}{8 + \frac{4}{x}}$;12) $\frac{5}{6 — \frac{2}{x}}$;13) $\frac{1}{(x — 3)(x — 4)}$;14) $\frac{x + 8}{(x + 8)(x — 3)}$?
Решение:
841. Сократите дробь:1) $\frac{8a^2c^3}{4a^3c^2}$;2) $\frac{25mn^2}{75m^8n}$;3) $\frac{60a^3bc^2d^5}{18a^4b^2c^6d}$;4) $\frac{42x^8y^9}{14x^6y^3}$.
Решение:
842. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь:1) $4mn^2p : (28m^2np^6)$;2) $-30x^5y^3 : (36x^4y^8)$;3) $-63xy^9 : (-72xy^7)$.
Решение:
843. Сократите дробь:1) $\frac{3x — 6y}{3x}$;2) $\frac{3a + 9b}{4a + 12b}$;3) $\frac{a^2 — 49}{3a + 21}$;4) $\frac{12x^2 — 4x}{2 — 6x}$;5) $\frac{x^2 — 9}{x^2 + 6x + 9}$;6) $\frac{b^7 + b^4}{b^2 + b^5}$;7) $\frac{a^3 + 64}{3a + 12}$;8) $\frac{xb — 5y + 5b — xy}{x^2 — 25}$;9) $\frac{7m^2 — 7m + 7}{14m^3 + 14}$;10) $\frac{a^2 + bc — b^2 + ac}{ab + c^2 + ac — b^2}$;11) $\frac{20mn^2 — 20m^2n + 5m^3}{10mn — 5m^2}$;12) $\frac{x^2 — yz + xz — y^2}{x^2 + yz — xz — y^2}$.
Решение:
844. Найдите значение выражения:1) $\frac{x^5y^7 — x^3y^9}{x^3y^7}$, если x = −0,2, y = 0,5;2) $\frac{4a^2 — 36}{5a^2 — 30a + 45}$, если a = 2;3) $\frac{(3a + 3b)^2}{3a^2 — 3b^2}$, если $a = \frac{1}{3}, b = -\frac{1}{6}$;4) $\frac{20x^2 — 140xy + 245y^2}{4x — 14y}$, если 2x − 7y = −0,5.
Решение: