Место алгебры в жизни школьника
«ГДЗ: Алгебра 8 класс Мерзляк — Учебник (Вентана-граф)» поможет старшеклассникам на уроках алгебры блистать превосходной подготовкой. Выполнение домашних заданий окажется более продуктивным мероприятием. При этом практика не займёт много времени. Ученики будут рады появлению полезного интернет-решебника в электронной библиотеке.
Алгебра является одним из самых важных технических предметов в школьные годы. Наука продолжает курс математики. Ребята на занятиях исследуют арифметические методы вычислений буквенных и числовых выражений. Школьники благодаря полученным знаниям во взрослом возрасте смогут добиться финансовой независимости и приличного достатка
Важность подобных занятий трудно преуменьшить
Нужно упомянуть положительное влияние алгебры на умственные способности детей. Ученики становятся многозадачными, «собранными». Совершенствуется память, появляется логическое мышление и рациональный взгляд на окружающую действительность. Молодые люди научатся грамотно устанавливать причинно-следственные связи и делать соответствующие выводы. Старательный студент превратится в эрудированного и сообразительного человека в будущем.
Видеоинструкция к калькулятору
Используемые символы
В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: , , , , , , , и так далее.
Для записи логических операций можно использовать
как обычные символы клавиатуры (, , , , , ), так и символы, устоявшиеся в литературе (, , , , , ). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите «Показать клавиатуру»), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.
Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().
Что умеет калькулятор
- Строить таблицу истинности по функции
- Строить таблицу истинности по двоичному вектору
- Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
- Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
- Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
- Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
- Строить карту Карно
- Минимизировать ДНФ и КНФ
- Искать фиктивные переменные
Подробнее о решебнике
Решебник составлен опытными преподавателями, которые специализируются на данной области познания. Верные ответы досконально проверены. Сборник соответствует запросам федерального государственного образовательного стандарта. ГДЗ – залог стабильной положительной успеваемости. Перечислим несколько ценных свойств пособия:
- самоучитель удобен благодаря современному размещению в онлайн-пространстве (ученик сможет посмотреть полезную информацию со своего личного смартфона или похожего устройства с браузером);
- ребята станут самостоятельными и независимыми от помощи родителей;
- ГДЗ легко заменит дорогостоящие услуги репетитора (что в первую очередь придётся по душе родителям).
ГЛАВА 3. Квадратные уравнения
§19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений
Вопросы
1. Какое уравнение называют линейным?
Ответ:
2. Какое уравнение называют уравнением первой степени?
Ответ:
3. Приведите пример линейного уравнения, являющегося уравнением первой степени, и пример линейного уравнения, которое не является уравнением первой степени.
Ответ:
4. Какое уравнение называют квадратным?
Ответ:
5. Как называют коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?
Ответ:
6. Какое квадратное уравнение называют приведенным?
Ответ:
7. Какое квадратное уравнение называют неполным?
Ответ:
8. Какие существуют виды неполных квадратных уравнений? Какие корни имеет уравнение каждого вида?
Ответ:
Как задать логическую функцию
Есть множество способов задать булеву функцию:
- таблица истинности
- характеристические множества
- вектор значений
- матрица Грея
- формулы
Рассмотрим некоторые из них:
Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2n нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).
Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c
Что такое таблица истинности?
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из столбцов и строк, где — число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.
Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.
Способы представления булевой функции
С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:
- Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
- Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
- Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, ДНФ является функция ¬abc ∨ ¬a¬bc ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.
Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.
Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1
Алгоритм построения СДНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
- Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции
Алгоритм построения СКНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
- Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции
Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции
Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.
- Построить таблицу истинности для функции
- Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5… ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6… прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5… строк.
- Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10… строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12… строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
- Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
- Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
- Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.
Примеры построения различных представлений логических функций
Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬ab∨¬bc∨ca
1. Построим таблицу истинности для функции
| a | b | c | ¬a | ¬a∧b | ¬b | ¬b∧c | ¬a∧b∨¬b∧c | c∧a | ¬a∧b∨¬b∧c∨c∧a |
| 1 | 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: { 0, 0, 1 } { 0, 1, 0 } { 0, 1, 1 } { 1, 0, 1 } { 1, 1, 1 }
В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:
K1: { 0, 0, 1 } — ¬a¬bc
K2: { 0, 1, 0 } — ¬ab¬c
K3: { 0, 1, 1 } — ¬abc
K4: { 1, 0, 1 } — a¬bc
K5: { 1, 1, 1 } — abc
K1 ∨ K2 ∨ K3 ∨ K4 ∨ K5 = ¬a¬bc ∨ ¬ab¬c ∨ ¬abc ∨ a¬bc ∨ abc
Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: { 0, 0, 0 } { 1, 0, 0 } { 1, 1, 0 }
В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:
D1: { 0, 0, 0 } — a∨b∨c
D2: { 1, 0, 0 } — ¬a∨b∨c
D3: { 1, 1, 0 } — ¬a∨¬b∨c
D1 ∧ D2 ∧ D3 = (a∨b∨c) ∧ (¬a∨b∨c) ∧ (¬a∨¬b∨c)
Построение полинома Жегалкина:
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:
| a | b | c | F | 1 | |
| → | |||||
| 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 | ||
| 1 | 1 | → | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | ||
| 1 | → | ||||
| 1 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 | |
| 1 | 1 | → | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:
| a | b | c | F | 1 | 2 | |
| → | ||||||
| 1 | 1 | 1 | → | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 1 | ||
| 1 | → | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | → | 1 | |
| 1 | 1 | ⊕ 0 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 |
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:
| a | b | c | F | 1 | 2 | 3 | |
| → | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | → | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | → | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | → | 1 | ||
| 1 | ⊕ 0 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | ||
| 1 | 1 | ⊕ 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 1 |
Окончательно получим такую таблицу:
| a | b | c | F | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):
{ 0, 0, 1 } — c, { 0, 1, 0 } — b, { 0, 1, 1 } — bc, { 1, 1, 0 } — ab, { 1, 1, 1 } — abc
Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc
Особенности освоения алгебры в восьмом
Восьмой класс может стать настоящим испытанием. В этот период дисциплины в расписании значительно усложняются. Уроки стали требовательнее, количество контрольных работ увеличилось. Для наглядного изучения нагрузки на учащихся перечислим несколько затруднительных параграфов из теоретической части учебно-методического комплекта:
- системы уравнений;
- упрощение рациональных выражений;
- метод сложения и умножения.
«ГДЗ: Алгебра 8 класс А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков — Учебник (Вентана-граф)» легко сделает восьмиклассников отличниками по математическому разделу. Дисциплина станет одной из любимых наук в расписании. Пятёрки и четвёрки по данному предмету станут привычкой для уверенного пользователя решебника.
