Понятие делимости целых чисел, свойства делимости

Делимость – признаки

В разных классах начальной школы (иногда – в среднем звене) активно рассматриваются не только делители числа, но и признаки делимости. Эта информация тоже включена в рассматриваемую теорию. Она помогает найти простые делители заданного числа намного быстрее. А еще – понять, простое оно или сложное. Узнать количество делителей, которые имеют числа, будет намного проще.

На десятку

Если «цифра» заканчивается на 0, она может делиться без остатка на 10. Это – правило, которое нужно запомнить в младших классах. Обычно такие элементы относятся к сложным/составным. Об этом учителя говорят еще в начальных классах. Связано это с тем, что «цифра», которая делится на 10, обычно может быть поделена:

• сама на себя;
• на десятку;
• на пятерку.

Из ранее изученных определений следует достоверность последнего утверждения.

Делимость на 5 и 2

Теперь стоит изучить более сложные варианты. Они тоже рассматриваются в начальных классах и позволяют понять, сколько делителей будет у «цифры», заданной в примере. Среди основных знаний, которые нужно освоить в начальной школе, выделяют признаки делимости на двойку и пятерку.

Тут в начальных классах требуется запомнить, что:

1. Любая «цифра», которая заканчивается на 0, делится без остатка на 5 и 2.
2. Если в конце стоит 0 или 5, то возможно деление без остатков на «пятерку».
3. Когда «цифра» заканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 – оно будет делиться на 2. Остаток не предусматривается.

Все это поможет быстрее найти делитель числа в начальных классах. Но есть и иные признаки делимости. Они тоже необходимы для нахождения рассматриваемых элементов.

Согласно установленным правилам, если сумма цифр в заданном элементе делится на 3, то все оно тоже разделяется без остатка на «тройку». Пример – 27. Сумма его составляющих будет равна 9. Оно делится на 3. Отсюда следует, что 27 при делении на «тройку» остатка не образовывается.

Рассматривая делители числа, стоит обратить внимание на еще один признак делимости. Речь идет о 9

Если сумма цифр в заданном компоненте делится на «девятку», то и все оно тоже не образовывает остатка вследствие выполняемых математических манипуляций. Соответствующий принцип тоже изучается в младших классах.

Дроби

Ближе к средним классам школьная программа начинает предлагать дроби. Там рассмотренная тема будет особо актуальна. Одно и то же число можно записать десятично (15 – 3*5) и в виде дроби.

У дробей есть:

• числитель – то, что написано над чертой-разделителем;
• знаменатель – нижняя часть записи.

Чтобы в любом классе без проблем привести дроби к общему знаменателю, потребуется:

1. Найти общее кратное знаменателей. Эта запись будет общим знаменателем.
2. Разделить общий знаменатель на знаменатель каждой отдельно взятой дроби. Получится дополнительный множитель.
3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

Лишь после этого можно проводить сложение и вычитание дробей. Соответствующая информация пригодится в любом классе школы и даже во взрослой жизни при разнообразных вычислениях.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus! 

Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число.

Если увидеть

связь между делением и умножением

, то будет видно и свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, равное одному из множителей. Его формулировка такова: результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю
. Приведем буквенный вид этого свойства деления:

(a·b):a=b

или

(a·b):b=a

, где a
и b
– некоторые натуральные числа.

Например, если разделить произведение чисел 2
и 8
на 2
, то получим 8
, а (3·7):7=3
.

Теперь будем считать, что делитель не равен ни одному из множителей, образующих делимое. Сформулируем свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число для этих случаев. При этом будем считать, что хотя бы один из множителей можно разделить на данное натуральное число. Итак, разделить произведение двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель
.

Озвученное свойство, мягко говоря, не очевидно. Но если вспомнить, что умножение натуральных чисел по сути является сложением некоторого количества равных слагаемых (об этом написано в разделе теории смысл умножения натуральных чисел), то рассматриваемое свойство следует из .

Запишем это свойство с помощью букв. Пусть a
, b
и c
– натуральные числа. Тогда, если a
можно разделить на c
, то справедливо равенство

(a·b):c=(a:c)·b

; если b
можно разделить на c
, то справедливо равенство

(a·b):c=a·(b:c)

; а если и a
, и b
можно разделить на c
, то имеют место оба равенства одновременно, то есть,

(a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c)

.

К примеру, в силу рассмотренного свойства деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число справедливы равенства (8·6):2=(8:2)·6
и (8·6):2=8·(6:2)
, которые можно записать в виде двойного равенства вида (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2)
.

Признаки делимости натуральных чисел

Сегодня я хочу поговорить с вами об одном важном инструменте математики. Признаки делимости натуральных чисел – один из полезных навыков для быстрого счета

Признак делимости на 2

Число делится на два, если оно четное (оканчивается на ноль или четное число – 2,4,6,8).

Например: 172 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 2 (четное число); 436 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 6 (четное число);  39587268 делится на 2,  т.к. оканчивается на цифру 8 (четное число).

Признак делимости на 3

Число делится на три, если сумма его цифр делится на три.

Например: 171 делится на 3, т.к. 1+7+1=9, а 9 делится на 3; 45132 делится на 3, т.к. 4+5+1+3+2=15, а 15 делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на четыре, если две его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.

Например: 144 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 44, а 44:4=11 ; 6724 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 24, а 24:4=6.

Признак делимости на 5

Число делится на пять, если оно оканчивается на 0 или 5.

Например: 135 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5; 1760 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 0; 93416295 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5.

Признак делимости на 6

Число делится на шесть, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно (т.е. оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Например: 252 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 2+5+2=9 делится на 3; 4512 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 4+5+1+2=12 делится на 3; 94834578 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 8 и сумма его цифр 9+4+8+3+4+5+7+8=48 делится на 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7, если утроенное число его десятков, сложенное с цифрой его единиц, делится на 7.

Например:  84 делится на 7, т.к. 8*3+4=28, а 28 делится на 7; 182 делится на 7, т.к. 18*3+2=56, а 56 делится на 7.

Число делится на 7, если  разность удвоения единицы числа и оставшегося числа делится на 7.

Например:  448 делится на 7, т.к. 44-8*2=28, а 28 делится на 7; 658 делится на 7, т.к. 65-8*2=49, а 49 делится на 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.

Например: 45000 делится на 8, т.к. оканчивается на три нуля; 2136 делится на 8, т.к. 136:8=17.

Трёхзначное число делится на 8, если цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой десятков и учетверённой цифрой сотен, делится на 8.

Например: 136 делится на 8, т.к. 6+2*3+4*1=16, а 16 делится на 8; 872 делится на 8, т.к. 2+7*2+8*4=48, а 48 делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Например: 459 делится на 9, т.к. 4+5+9=18 делится на 9; 123534 делится на 9, т.к. 1+2+3+5+3+4=18 делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Например: 350 делится на 10, т.к. оканчивается на 0; 200 делится на 10, т.к. оканчивается на 0.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если группы, образующие по две цифры (начиная с единиц) делятся на 11.

Например: 121 делится на 11, т.к. 01+21=22, а 22 делится на 11; 627 делится на 11, т.к. 06+27=33, а 33 делится на 11; 1859 делится на 11, т.к. 18+59=77, а 77 делится на 11.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 25.

Например: 3450 делится на 25, т.к. оканчивается на 50, которое делится на 25; 78475 делится на 25, т.к. оканчивается на 75, которое делится на 25; 4568100 делится на 25, т.к. оканчивается двумя нулями.

Делители от 11 и выше

Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.

Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.

Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:

• 7+3=10,
• 5+5=10,
• 10−10=0.

Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:

• 7+0+9=16.
• 4+1=5.
• 16−5=11.

В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:

• 5+4+6=15.
• 0+8=8.
• 15−8=7.

Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.

Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3. В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет. Таким образом, оба примера кратны 12.

Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.

Например, 6942:

• 2*4=8.
• 694+8=702.
• 702:13=54.

Еще пример — 754:

• 4*4=16.
• 75+16=91.
• 91:13=7.

Деление с остатком

Сейчас мы знаем, что при делении чисел может получиться дробный ответ:

75:10 = 7,5

Однако в младшей школе, когда дробные числа ещё не были изучены, использовалось деление с остатком:

75:10 = 7 (остаток 5)

Остаток должен быть меньше, чем делитель. Если вычесть из делимого остаток, то получится число, кратное делителю:

75 – 5 = 70

70:10 = 7

Если же остаток получился равным нулю, то имеет место деление без остатка.

Сформулируем строгое определение для операции «деление с остатком»:

Число 75 можно представить как

75 = 7•10 + 5

поэтому результатом деления 75 на 10 будет

75:10 = 7 (остаток 5)

Условие 0 ⩽d<b в этом определении означает, что остаток должен быть меньше делителя, но при этом является неотрицательным числом. Без этого уточнения можно было бы получить несколько разных ответов, подходящих под определение:

75= 7•10 + 5

75 = 6•10 + 15

75 = 5•10 + 25

Заметим, что по определению делителем может быть и отрицательное число, в то время как делителем и остатком неотрицательны. Например:

– 34:9 = – 4 (остаток 2)

так как

– 34 = 9•(– 4) + 2

Из определения напрямую не следует, что операцию деления с остатком можно выполнить всегда. Вдруг необходимые числа c и d просто не найдутся? Или найдется сразу несколько пар чисел с и d, удовлетворяющих определению? К счастью, существует теорема о делении с остатком:

Мы не станем доказывать эту теорему. Однако у нее есть интересное следствие. Очевидно, что при делении любого числа на делитель k мы получим остаток, который меньше k. За счет этого можно разбить множество всех целых чисел на подмножества (классы), которые отличаются величиной этого остатка. Поясним на примере. Есть множество четных и нечетных чисел. Первые при делении на 2 дают в остатке ноль, а вторые – остаток, равный единице. Поэтому любое четное число можно записать как

2n

а нечетное число можно представить, как

2n + 1

где n – какое-то целое число.

При этом любое целое число будет либо четным, либо нечетным.

Аналогично любое число при делении на 3 даст остаток либо 0, либо 1, либо 2. В первом случае число можно записать как

3n

во втором случае в виде

3n + 1

а в третьем – в виде

3n + 2

Аналогично, если рассматривать делимость чисел на 5, любое целое число может относиться к одному из пяти классов деления с остатком:

5n, 5n + 1, 5n + 2, 5n + 3, 5n + 4.

Для чего это делать? Оказывается, подобное представление может использоваться в некоторых задачах.

Пример. Какие остатки могут получиться при делении квадрата целого числа на 4?

Решение. Любое целое число можно представить в одном из следующих видов:

4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3

Рассмотрим, какой остаток получится при делении квадрата каждого их этих выражений на 4:

(4n)2 = 16n2 = 4•4n2 + 0 (остаток от деления на 4 равен 0)

(4n + 1)2 = 16n2 + 8n + 1 = 4(4n + 2n) + 1 (остаток равен 1)

(4n + 2)2 = 16n2 + 16n + 4 = 4(4n2 + 4n + 1) + 0 (остаток 0)

(4n + 3)2 = 16n2 + 24n + 9 = 4(4n2 + 6n + 2) + 1 (остаток 1)

Получается, что при делении квадрата любого числа на 4 получается либо остаток, равный 1, либо нулевой остаток (то есть имеет место деление нацело).

Ответ: 0 и 1.

Свойства делителей от 6 до 10

Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.

Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.

Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.

Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:

• 2*9=18.
• 67−18=49.
• 49:7=7.

Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.

В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:

• 2*7=14.
• 49−14=35.
• 35:7=5.

Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.

Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число.

Аналогично предыдущему свойству формулируется свойство деления разности двух натуральных чисел на данное натуральное число: разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа
.

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a-b):c=a:c-b:c

, где a
, b
и c
– такие натуральные числа, что a
больше или равно b
, а также и a
и b
можно разделить на c
.

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45-25):5=45:5-25:5
. Так как 45-25=20
(при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45-25):5=20:5
. По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4
. Теперь вычислим значение выражения 45:5-25:5
, стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45:5=9
и 25:5=5
, тогда 45:5-25:5=9-5=4
. Следовательно, равенство (45-25):5=45:5-25:5 верно.

Нахождение делителей числа

В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.

Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2

6 : 2 = 3

Ещё делителем числа 6 является число 3

6 : 3 = 2

Ещё делителем числа 6 является число 1

6 : 1 = 6

Наконец, делителем числа 6 является само это число

6 : 6 = 1

Перечислим все делители числа 6

1, 2, 3, 6

Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти делители числа 12

Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1

Теперь раскладываем число 12 на простые множители:

Получили разложение 2 × 2 × 3. 

В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:

Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.

Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4

2 × 2 = 4

Занесём число 4 в нашу таблицу делителей

Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:

Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:

Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

Чтобы найти делители числа, нужно:

• записать в качестве первого делителя единицу;
• разложить исходное число на простые множители и выписать из полученных простых множителей те множители, которые являются делителями исходного числа (если множитель повторяется, то выписать его нужно только один раз); 
• найти все возможные произведения полученных простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы будут остальными делителями исходного числа.

Пример 2. Найти делители числа 6

Первым делителем числа 6 запишем единицу:

1

Теперь разложим число 6 на простые множители:

Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:

1, 2, 3

Теперь найдём все возможные произведения простых множителей числа 6. В данном случае имеется только одно произведение, а именно 2 × 3. Это произведение равно 6. Допишем число 6 к нашим делителям:

1, 2, 3, 6

Таким образом, делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложите число 256 на простые множители

Решение:

Задание 2. Разложите число 52 на простые множители

Решение:

Задание 3. Разложите число 98 на простые множители

Решение:

Задание 4. Разложите число 116 на простые множители

Решение:

Задание 5. Разложите число 228 на простые множители

Решение:

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Дроби с кратными от 1 до 5

На единицу делится любое целое число.

Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.

Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное. Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.

Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.

Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388. Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка. Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.

Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю. А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.

Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.

Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.

§ 1. Делимость чисел.

1. Делители и кратные.

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся. Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Делитель натурального числа. Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.Число 1 является делителем любого натурального числа.

Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 печений, 24 печенья, а 18 печений так взять нельзя. Числа 8, 16, 24 делятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

Кратное натурального числа. Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Например, первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

ВОПРОСЫ:Какое число называют делителем данного натурального числа? Какое число называют кратным натуральному числу а? Какое число является делителем любого натурального числа? Какое число и кратно n, и является делителем n?

2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2.

Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить эту цифру 0.

Например, 280 делится без остатка на 10, так как 280 : 10 = 28.

При делении же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 (т. е. последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Число 10 = 2 • 5. Поэтому число 10 делится без остатка и на 2, и на 5. Отсюда и любое число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.

Например, 60 = 6 • 10 = 6 • (2 • 5) = (6 • 2) • 5 = 12 • 5, значит, 60 : 5 = 12. А из того, что 60 = 6 • (5 • 2) = (6 • 5) • 2 = = 30-2, получаем, что 60 : 2 = 30.

Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например: 246 = 240 + 6, 1435 = = 1430 + 5. Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными. Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны. Поэтому и цифры О, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны). Значит, любое натуральное число чётно лишь в случае, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.

Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 чётные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 нечётные.

ВОПРОСЫ:Как по записи натурального числа определить, делится оно без остатка на 10 или не делится на 10? Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 5 или не делится на 5? Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 2 или не делится на 2?

5. Разложение на простые множители.

Число 210 является произведением чисел 21 и 10. Значит, 210 = 21 • 10. Числа 21 и 10 составные. Их тоже можно представить в виде произведений: 21 = 3 • 7, 10 = 2 • 5. Получаем: 210 = 3 • 7 • 2 • 5. Теперь в произведении 3 • 7 • 2 • 5 все множители — простые числа.

Проектные задачи.

Вы смотрели: Математика 6 класс УЧЕБНИК 2021 в 2-х частях (УМК Виленкин и др.) §1 Делимость чисел (Делители и кратные. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Признаки делимости на 9 и на 3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное).

Натуральное число делить на нуль нельзя.

Почему же натуральное число нельзя делить на нуль? Давайте разберемся с этим.

Предположим, что некоторое натуральное число a
можно разделить на нуль, и результатом деления является другое натуральное число b
, то есть, справедливо равенство a:0=b
. Если вспомнить о связи деления с умножением, то записанное равенство a:0=b
означает справедливость равенства b·0=a
. Однако свойство умножения натурального числа и нуля утверждает, что b·0=0
. Сопоставление двух последних равенств указывает на то, что a=0
, чего быть не может, так как мы сказали, что a
– некоторое натуральное число. Таким образом, наше предположение о возможности деления натурального числа на нуль приводит к противоречию.

Итак,

натуральное число нельзя делить на нуль

.

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

просмотров

Признаки делимости натуральных чисел

Привет) Сегодня я хочу поговорить с вами об одном важном инструменте математики. Признаки делимости натуральных чисел – один из полезных навыков для быстрого счета

Признак делимости на 2

Число делится на два, если оно четное (оканчивается на ноль или четное число – 2,4,6,8) 

Например:  172 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 2 (четное число); 436 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 6 (четное число);  39587268 делится на 2,  т.к. оканчивается на цифру 8 (четное число);

Признак делимости на 3

Число делится на три, если сумма его цифр делится на три.

Например:  171 делится на 3, т.к. 1+7+1=9, а 9 делится на 3; 45132 делится на 3, т.к. 4+5+1+3+2=15, а 15 делится на 3;

Признак делимости на 4

Число делится на четыре, если две его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.

Например:  144 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 44, а 44:4=11 ; 6724 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 24, а 24:4=6;

Признак делимости на 5

Число делится на пять, если оно оканчивается на 0 или 5.

Например:  135 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5; 1760 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 0; 93416295 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5;

Признак делимости на 6

Число делится на шесть, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно (т.е. оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Например:  252 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 2+5+2=9 делится на 3; 4512 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 4+5+1+2=12 делится на 3; 94834578 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 8 и сумма его цифр 9+4+8+3+4+5+7+8=48 делится на 3;

Признак делимости на 7

1) Число делится на 7, если утроенное число его десятков, сложенное с цифрой его единиц, делится на 7.

Например:  84 делится на 7, т.к. 8*3+4=28, а 28 делится на 7; 182 делится на 7, т.к. 18*3+2=56, а 56 делится на 7;

2) Число делится на 7, если  разность удвоения единицы числа и оставшегося числа делится на 7.

Например:  448 делится на 7, т.к. 44-8*2=28, а 28 делится на 7; 658 делится на 7, т.к. 65-8*2=49, а 49 делится на 7;

Признак делимости на 8

1) Число делится на 8, если три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.

Например:  45000 делится на 8, т.к. оканчивается на три нуля; 2136 делится на 8, т.к. 136:8=17;

2) Трёхзначное число делится на 8, если цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой десятков и учетверённой цифрой сотен, делится на 8.

Например:  136 делится на 8, т.к. 6+2*3+4*1=16, а 16 делится на 8; 872 делится на 8, т.к. 2+7*2+8*4=48, а 48 делится на 8;

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Например:  459 делится на 9, т.к. 4+5+9=18 делится на 9; 123534 делится на 9, т.к. 1+2+3+5+3+4=18 делится на 9;

Признак делимости на 10

Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Например:  350 делится на 10, т.к. оканчивается на 0; 200 делится на 10, т.к. оканчивается на 0;

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если группы, образующие по две цифры (начиная с единиц) делятся на 11.

Например:  121 делится на 11, т.к. 01+21=22, а 22 делится на 11; 627 делится на 11, т.к. 06+27=33, а 33 делится на 11; 1859 делится на 11, т.к. 18+59=77, а 77 делится на 11;

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 25.

Например:  3450 делится на 25, т.к. оканчивается на 50, которое делится на 25; 78475 делится на 25, т.к. оканчивается на 75, которое делится на 25; 4568100 делится на 25, т.к. оканчивается двумя нулями;

Для того, чтобы вы проверили свои умения применять признаки делимости натуральных чисел на практике, предлагаю вам поработать с тренажером:

Тренажер №6. Признаки делимости

Обязательно сохраните закладку на эту страницу, чтобы периодически напоминать себе о признаках делимости и проверять свои умения. И конечно же пишите, если возникли какие-либо вопросы, в х ниже.