Решение степеней с рациональными показателями

Степень с рациональным показателем и ее свойства

Определение степени с дробным показателем

Мы знаем, какой смысл имеет выражение

Из определения арифметического корня следует, что если m — целое число, n — натуральное и m делится на n, то при а > 0 верно равенство

Так как

Определение:

Если а — положительное число,

По определению имеем:

Степень с основанием, равным нулю, определяется только для положительного дробного показателя: если

Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,76 можно представить в виде дроби так:

Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например:

Покажем это в общем случае.

Пусть а > 0, m — целое, n и k — натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:

Значения степеней с дробным показателем и положительным основанием можно находить приближенно с помощью инженерного микрокалькулятора, например, «Электроника БЗ-Зб». Микрокалькулятор «Электроника Б3-36» имеет 25 клавиш, из них 22 клавиши можно использовать для выполнения двух операций. Одна операция обозначена на самой клавише, а другая написана над ней. При выполнении операций, обозначенных на клавишах, микрокалькулятор работает в нормальном режиме, а когда производят операции, обозначенные над клавишами, то микрокалькулятор работает в совмещенном режиме. Чтобы перейти к этому режиму, надо нажать клавишу

Пример:

Найдем значение степени

Вводим основание степени у, равное 3,48, нажимаем клавишу

равный 2,5, и клавишу

Выполнив вычисления, найдем, что приближенное значение степени

Пример:

Вычислим значение степени

Этот пример отличается от примера 1 тем, что показатель степени представлен не в виде десятичной дроби, а в виде обыкновенной дроби. Поэтому после введения основания степени 1,43 надо и нажатия клавиш

Выполнив вычисление, получим 1,1075969.

Заметим, что в тех случаях, когда результат вычислений по модулю оказывается меньше 0,0000001 или больше 99 999 999, микрокалькулятор дает ответ в виде

Свойства степени с рациональным показателем

Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем. Перечислим их.

Для любого а > 0 и любых рациональных чисел р и q:

Для любых а >0 и b > 0 и любого рационального числа р:

Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном примере способ доказательства этого свойства.

Пусть, например,

Приведем дроби

Так как

Переходя к степени с дробным показателем, получим:

Следовательно,

Проведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде. Представим рациональные числа р и q в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

Значит,

Из свойства (1) следует, что для любого положительного а и любого рационального числа р

Действительно,

Свойство (2) следует из свойства (1) и определения частного. Докажем свойство (3), т. е. докажем, что при а > 0 и любых рациональных р и q

Пусть

Значит,

Покажем, что при любом рациональном р и любом натуральном n

Действительно, по определению степени с дробным показателем и свойству (3) имеем:

Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при а > 0 и b > 0 и любом рациональном р

Пусть

к

Значит,

Свойство (5) можно доказать, представив дробь

Преобразование выражении, содержащих степени с дробными показателями

Рассмотрим примеры, в которых используются тождественные преобразования выражений, содержащих степени с дробными показателями.

Пример:

Найдем значение выражения

Предварительно упростим это выражение:

Подставим в выражение

Пример:

Представим числитель

Пример:

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Получим

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим определение степени числа с натуральным показателем. Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для действительного числа a, которое будем называть основанием степени, и натурального числа n, которое будем называть показателем степени. Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n — это выражение вида an, значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a, то есть, a1=a.

Из данного определения понятно, что с помощью степени с натуральным показателем можно кратко записывать произведения нескольких одинаковых множителей. Например, 8·8·8·8 можно записать как степень 84. Это аналогично тому, как с помощью произведения записывается сумма одинаковых слагаемых, к примеру, 8+8+8+8=8·4 (смотрите статью общее представление об умножении натуральных чисел).

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи an таков: «a в степени n». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n-ой степени» и «n-ая степень числа a». Для примера возьмем степень 812, это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 72 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 53 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями. Начнем со степени 57, здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: десятичная дробь 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32)9.

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках

Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2)3 и −23. Выражение (−2)3 – это степень отрицательного числа −2 с натуральным показателем 3, а выражение −23 (его можно записать как −(23)) соответствует числу, противоположному значению степени 23.

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n. При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 49. А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^»: 14^(21), (−2,1)^(155). В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида an.

Данное выше определение позволяет находить значение степени с натуральным показателем. Для этого нужно вычислить произведение n одинаковых множителей, равных a. Эта тема заслуживает детального рассмотрения в отдельной статье – смотрите .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к понятию корня из числа.

Также стоит изучить , которые вытекают из данного определения степени и свойств умножения.

Задачи на делимость

Задача 1

Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+22+23+24+…+22003+22004?

Решение:

Первое слагаемое делится на 3, второе нет,значит, сумма не делится на 3.

Задача 2

Доказать, что разность 9999931999 – 7777771997кратна 5.

Решение:

1. Если оканчивается цифрой 3, то степени оканчиваются 3,9,7,1. Повторение через 4. в нашем случае 1999_4=499+3, 1999=4 х 499 +3. Значит число 9999931999 оканчивается на ту же цифру, что число 33, т.е. на 7.
2. Если число оканчивается на 7, то степень числа оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.

• 71=7
• 72=49
• 73=343
• 74=2401
• 75=16807
• 1997:4=499+4

1997 = 4 х 499+1, значит 7777771997 оканчивается натуже цифру, что и число 71, т.е. на 7.

3. Разность данных чисел оканчиваетсяна 0 (7–7=0), 0:5, следовательно разность кратна “5”.

Степень с рациональным показателем

В множество рациональных чисел входят целые и дробные числа.

Определение 1

Степень числа $а$ с целым показателем $n$ является результатом умножения числа $а$ самого на себя $n$ раз, причем:
$a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, при $n>0$;
$a^n=\frac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}$, при $n

Определение 2

Степень числа $а$ с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ называется корнем $n$-ной степени из $a$ в степени $m$:
$a^\frac{m}{n}=\sqrt{a^m}$,
где $а>0$,
$n$ – натуральное число,
$m$ – целое число.

Определение 3

Степень нуля с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ определяется следующим образом:
$0^\frac{m}{n}=\sqrt{0^m}=0$,
где $m$ – целое число, $m>0$,
$n$ – натуральное число.

Статья: Степень с рациональным и действительным показателем

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Существует и другой подход к определению степени числа с дробный показателем, который показывает возможность существования степени отрицательного числа или отрицательного дробного показателя.

Например, выражения $\sqrt{(-3)^6}$, $\sqrt{(-3)^3}$ или $\sqrt{(-7)^{-10}}$ имеют смысл, таким образом, и выражения $(-3)^\frac{6}{7}$, $(-3)^\frac{3}{7}$ и $(-7)^\frac{-10}{6}$ должны иметь смысл, в то время, как согласно определению степени с показателем в виде дроби при отрицательном основании не существуют.

Дадим другое определение:

Степенью числа $a$ с дробным показателем $\frac{m}{n}$ называется $\sqrt{a^m}$ в следующих случаях:

1. При любом действительном числе $a$, целом $m>0$ и нечетном натуральном $n$.

   Например, $13,4^\frac{7}{3}=\sqrt{13,4^7}$, $(-11)^\frac{8}{5}=\sqrt{(-11)^8}$.

2. При любом отличном от нуля действительном числе $a$, целом отрицательном $m$ и нечетном $n$.

   Например, $13,4^\frac{-7}{3}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $(-11)^\frac{-8}{5}=\sqrt{(-11)^{-8}}$.

3. При любом неотрицательном числе $a$, целом положительном $m$ и четном $n$.

   Например, $13,4^\frac{7}{4}=\sqrt{13,4^7}$, $11^\frac{3}{16}=\sqrt{11^3}$.

4. При любом положительном $a$, целом отрицательном $m$ и четном $n$.

   Например, $13,4^\frac{-7}{4}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $11^\frac{-3}{8}=\sqrt{11^{-3}}$.

5. При других условиях степень с дробным показателем определить невозможно.

   Например, $(-13,4)^\frac{10}{3}=\sqrt{(-13,4)^{10}}$, $(-11)^\frac{5}{4}=\sqrt{(-11)^5}$.

К тому же, при применении данного определения является важным, чтобы дробный показатель $\frac{m}{n}$ был несократимой дробью.

Серьезность данного замечания в том, что степенью отрицательного числа с дробным сократимым показателем, например, $\frac{10}{14}$ будет положительное число, а степенью того же числа с уже сокращенным показателем $\frac{5}{7}$ будет отрицательное число.

Например, $(-1)^\frac{10}{14}=\sqrt{(-1)^{10}}=\sqrt{1^{10}}=1$, а $(-1)^\frac{5}{7}=\sqrt{(-1)^5}=-1$.

Таким образом, при выполнении сокращения дроби $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$ не выполняется равенство $(-1)^\frac{10}{14}=(-1)^\frac{5}{7}$.

Замечание 1

Нужно отметить, что чаще применяется более удобное и простое первое определение степени с показателем в виде дроби.

В случае записи дробного показателя степени в виде смешанной дроби или десятичной, необходимо показатель степени преобразовать к виду обыкновенной дроби.

Например, $(2 \frac{3}{7})^{1 \frac{2}{7}}=(2 \frac{3}{7})^\frac{9}{7}=\sqrt{(2 \frac{3}{7})^9}$, $7^{3,6}=7^\frac{36}{10}=\sqrt{7^{36}}$.

3. Решение типовых задач

Важно по­нять, что функ­ции дан­но­го се­мей­ства огра­ни­че­ны снизу нулем, но наи­мень­ше­го зна­че­ния не имеют. При­мер 1 – найти мак­си­мум и ми­ни­мум функ­ции на ин­тер­ва­ле [1;8):

При­мер 1 – найти мак­си­мум и ми­ни­мум функ­ции на ин­тер­ва­ле [1;8):

вы­чис­лим зна­че­ния функ­ции в кон­цах за­дан­но­го про­ме­жут­ка:

Те­перь мы можем вы­пи­сать ответ на ос­но­ва­нии того, что функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет.

, ми­ни­маль­но­го зна­че­ния нет, так как пра­вая гра­ни­ца не вклю­че­на в ин­тер­вал.

При­мер 2 – по­стро­ить и про­честь гра­фик функ­ции:

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ную функ­цию по опре­де­ле­нию ра­ци­о­наль­ной сте­пе­ни:

Не за­бу­дем ука­зать, что по опре­де­ле­нию 

Стро­им гра­фик функ­ции , для нас это стан­дарт­ная кри­вая, она про­хо­дит через точку (1;1), убы­ва­ет. После этого сдви­га­ем по­лу­чен­ный гра­фик на одну еди­ни­цу вверх, точка (1;1) пе­ре­хо­дит в точку (1;2) (ри­су­нок

Чи­та­ем по­лу­чен­ный гра­фик: если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля (не вклю­чая) до бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до еди­ни­цы (не вклю­чая).

Рис. 8. По­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции 

При­мер 3 – по­стро­ить и про­честь гра­фик функ­ции:

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ную функ­цию по опре­де­ле­нию сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем:

Нам из­ве­стен гра­фик функ­ции , по­стро­им его. По­лу­чен­ная кри­вая воз­рас­та­ет и про­хо­дит через точку (1;1), по­сколь­ку по­ка­за­тель сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы – кри­вая вы­пук­ла вниз. Сдви­нем по­стро­ен­ную кри­вую на две еди­ни­цы впра­во (по­лу­ча­ем гра­фик функ­ции ) и на одну еди­ни­цу вверх – по­лу­ча­ем ис­ко­мый гра­фик (ри­су­нок 9)

Про­чтем по­лу­чен­ный гра­фик:

При воз­рас­та­нии ар­гу­мен­та от двух до бес­ко­неч­но­сти функ­ция воз­рас­та­ет от еди­ни­цы до бес­ко­неч­но­сти.

При­мер 4 – по­стро­ить и про­честь гра­фик функ­ции:

В дан­ном слу­чае функ­ция за­да­на ку­соч­но.

На­пом­ним, что такое мо­дуль, рас­кро­ем его по опре­де­ле­нию:

Итак, стро­им гра­фик функ­ции . Имеем две ветки:  и . После этого стро­им стан­дарт­ную кри­вую  на ин­тер­ва­ле  (Ри­су­нок 10)

Про­чтем гра­фик по­стро­ен­ной функ­ции:

Если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус бес­ко­неч­но­сти до нуля, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до нуля. Когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до еди­ни­цы, функ­ция также воз­рас­та­ет от нуля до еди­ни­цы. На­ко­нец, когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от еди­ни­цы не вклю­чи­тель­но до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от еди­ни­цы не вклю­чи­тель­но до нуля не вклю­чи­тель­но.

Рис. 9. По­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции 

Рис. 10. Гра­фик ку­соч­но за­дан­ной функ­ции

При­мер 5 – найти зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­ром урав­не­ние а) имеет хотя бы одно ре­ше­ние; б) имеет толь­ко одно ре­ше­ние:

Гра­фик за­дан­ной функ­ции мы уже по­стро­и­ли в преды­ду­щем при­ме­ре. Те­перь рас­се­чем его се­мей­ством пря­мых  и най­дем ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ния для каж­до­го слу­чая.

Вы­пол­ним рас­се­че­ние (ри­су­нок 11).

Рис. 11. Рас­се­че­ние гра­фи­ка пря­мы­ми 

При  урав­не­ние имеет три ре­ше­ния; при  урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Ответ: при  урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние, при  урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Итак, мы рас­смот­ре­ли сте­пен­ные функ­ции, их свой­ства и гра­фи­ки. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepennye-funktsii-ih-svoystva-i-grafiki-nachalnye-svedeniya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepennye-funktsii-ih-svoystva-i-grafiki-stepennye-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem

https://www.youtube.com/watch?v=6XZA9p2iCzg

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-stepennye-funktsii-svoistva-graphici.pptx

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

a m · a n = a m + n

например:  71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 =  70.8

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

a m / a n = a m — n , где,  m > n, a ≠ 0

например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

(a m ) n = a m ·  n

например: (23)2 = 2 3·2 = 26

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

(a · b)n = an·bm,

например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

(a / b)n = an / bn

например: (2 / 5)3=(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 23/53

Степень с рациональным показателем

Степенью числа а > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n > 1), называется число 

Итак:                                         

Например:

Степень числа 0 определена только для положительных показателей;

по определению 0r = 0  , для любого r > 0

Замечания

1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно.
2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение аr также не зависит от формы записи рационального числа r.
3. При а < 0 рациональная степень числа а не определяется.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).

Степень с действительным показателем

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения ax и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи aα , где α — иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

1. Если a = 1, то по определению полагают, что 1α = 1.
2. Если a > 1, то выберем любое рациональное число r₁ < α и любое рациональное число r₂ > α. Тогда, очевидно, r₁ < r₂ и, следовательно:

   Но и потому (так как a > 1) и, наконец,

   Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.

3. Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a<b, то

а1/n<b1/n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

аm/n<bmn

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

233,75< 243,75

634/3< 644/3

0,0080,002< 0,0080,002

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

a–n = 1/an = (1/а)n

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20–3,14 и 50–3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20–3,14 = (1/20)3,14 = 0,053,14

50–3,14 = (1/50)3,14 = 0,023,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание

То есть из неравенства 0,02

0,023,14< 0,053,14

Это означает, что

50–3,14< 20–3,14

Ответ: 50–3,14< 20–3,14.

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

25 = 26 = 1

9,36 = 9,37 = 1

18,3546 = 12,3647 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

53,14< 53,15

45–0,563< 450,001

1,235–5,623< 1,235–4,958

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1–7,56 = 1–0,15 = 10,236 = 1 521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,57,6 и 0,58,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(21) = 2–1

Итак, 0,5 = 2–1. Тогда можно записать, что:

0,57,6 = (2–1)7,6 = 2–7,6

0,58,9 = (2–1)8,9 = 2–8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

– 8,9 <– 7,6

то и

2–8,9< 2–7,6

Следовательно, 0,57,6> 0,58,9.

Например, справедливы неравенства:

0,997> 0,997,24

0,5715,36> 0,5716,47

0,490,04> 0,490,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 281/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.

Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 271/3:

Также ясно, что 271/3< 281/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3< 281/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 271/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7<3 (2)

Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,80,8< 0,90,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,90,8< 0,90,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

0,80,8< 0,90,8<0,90,7

или просто 0,80,8<0,90,7. Абсолютно аналогично можно записать, что

0,70,8< 0,90,7<0,90,7

Или 0,70,8<0,90,7. Наконец, в силу правила (3), 0,90,9<0,90,7. Итак, имеем три неравенства:

0,90,9<0,90,7

0,80,8<0,90,7

0,70,8<0,90,7

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,90,7 + 0,90,7 + 0,90,7<3

3•0,90,7< 3

Поделим обе части на 3:

0,90,7< 1

Заменим единицу равным ему выражением 10,7:

0,90,7<10,7 (4)

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.