Гдз алгебра рабочая тетрадь умк за 8 класс миндюк, шлыкова просвещение 2016 часть 1, 2 фгос

Напоминание о числовых дробях: Сложение, Вычитание, Сравнение.

Правило:Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

• привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
• сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби

Пример 1: Дроби: $\frac{2}{3}$и$\frac{3}{5}$.Сложить, Вычесть, Сравнить.

• Сложение дробей:$\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$ .
• приведем дроби к наименьшему общему знаменателю15.
• Сложим $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}+\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}=1\frac{4}{15}$
• Вычитание дробей:$\frac{2}{3} — \frac{3}{5}$ .
• $\frac{2}{3} -\frac{3}{5}= \frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}-\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}-\frac{9}{15}=\frac{10-9}{15}=\frac{1}{15}$
• Сравнение дробей:$\frac{2}{3}$и$\frac{3}{5}$.
• первая дробь равна$\frac{10}{15}$, вторая$\frac{9}{15}$ .При одинаковых знаменателях у первой дроби числитель больше:
• $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$$\Rightarrow$$\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$ .

Правило:привести дроби кнаименьшему общему знаменателю-значит выполнить следующее:

• найтиН.О.Ких знаменателей. …(наименьшее число, которое делится на оба знаменателя!)
• найти дополнительный множитель для каждой дроби по-отдельности: = ( Н.О.К ) : (его знаменатель) !
• вычислить числитель новой дроби: =(старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .

Сложение, вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Основное свойство алгебраической дроби – Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби одновременно умножать или делить на одно и то же. Хоть на многочлен, одночлен, число не 0, или на любое выражение.

Пример 4: Вычесть дроби$\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}$

• Умножим числитель и знаменатель 1-ой дроби $\frac{3}{a+b}$на знаменатель второго $2a$: дробь не изменится.
• Аналогично, во второй дроби $\frac{b-2}{2a}$на числитель первого $a+b$ : дробь останется прежным.
• Идея: Эти дроби не изменятся, но знаменатели станут одинаковыми — как произведение прежных … общий знаменатель.
• При этом числители каждой дроби приобретут свои дополнительные множители …. умножается на знаменатель другой дроби
• $\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}$Складываем по правилу …$\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left-\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
• Аккуратно упрощаем полученный числитель:$\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
• Шаги вычитания:$\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left-\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$

Правило:для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей: для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить .В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left+C\cdot\left}{B\cdot D}$$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left-(C)\cdot\left}{B\cdot D}$

Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения.

Калькулятор сокращения дробей.

Калькулятор дробей – это онлайн вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Ведите числа в поля и вы увидите: как вычислить выражение дробей, как привести дроби к обыкновенному виду, как привести дроби к общему знаменателю, если знаменатели дробей равны, то можно сложить числители, полученную дробь можно сократить, полученную дробь можно привести к смешанному виду и соответственно ответ решения дробей. Наш онлайн калькулятор дробей, вычисляет дроби с пошаговым решением. Это очень удобно чтобы понять весь алгоритм. На этой станице вы найдете все ответы для решения дробей. Как решать обыкновенные дроби? Что такое числитель дроби? Что такое знаменатель дроби? Что такое правильные дроби? Что такое неправильные дроби? Как сократить дробь? Составные дроби. Онлайн калькулятор сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Умножение простых дробей. Умножение дроби на натуральное число. Умножение, деление смешанных дробей. Калькулятор сокращения дробей. Короче говоря наш онлайн калькулятор дробей умеет все!!!

Пользователи которые искали решение дробей онлайн.

Cложение и вычитание дробей с разными знаменателями онлайн. Решить пример с дробями, вычитание дробей онлайн, Сложение дробей с разными знаменателями калькулятор. Решатель дробей онлайн.

Калькулятор дробей онлайн +с решением 15 280, решение уравнений онлайн +с дробями 3 126, решить дроби онлайн решение 2 387, решение дробей онлайн 6 класс 2 328, решить дробь онлайн калькулятор +с решением 2 228, дроби калькулятор онлайн +с решением 6 2 035, онлайн калькулятор дробей +с решением 6 класс 1 957, решение степеней онлайн +с дробями 1 874, решение уравнений +с дробями онлайн калькулятор 1 774, решение дробей онлайн +с буквами 1 623, решение дробей онлайн калькулятор +с буквами 1 474, сократить дробь онлайн +с решением 1 433, сократить дробь онлайн калькулятор +с решением 1 405, решение выражений +с дробями онлайн 1 327, калькулятор дробей +и степеней +с решением 1 262, онлайн калькулятор решения выражений дробей 1 230, решение примеров онлайн +с дробями 1 021, подробное решение дробей онлайн 956, решение десятичных дробей онлайн 891, решение дробей со степенями 860, решить уравнение онлайн +с решением дроби 844.

Как упростить дробь. Решить уравнение дроби онлайн калькулятор +с решением 764, онлайн решение упростить выражение дроби 759, решение дробей со степенями онлайн калькулятор 758, калькулятор дробей упростить выражение онлайн +с решением 746, решение дробей онлайн 8 класс 638, решение десятичных дробей онлайн калькулятор 624, решение уравнений +с дробями онлайн 6 класс 553, решение примеров +с дробями онлайн калькулятор 546, решение дробей +с корнями онлайн 524, решения действий +с дробями онлайн 495.

Сложение дробей 6 класс примеры +с решением 465. Умножение дробей 6 класс примеры +с решением 462, алгебра решение примеров дроби 438, вычитание дробей 6 класс примеры +с решением 420, сложение +и вычитание дробей примеры +для решения 414, дроби примеры +для решения 5 класс 353, решение примеров +с десятичными дробями 6 класс 350.

Сложение, Вычитание алгебраических дробей: Одинаковые знаменатели

Правило: Сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями равен дроби с таким же знаменателем, а в числителе надо сложить/вычесть числители исходных дробей.

• Общая форма для такого сложения/вычитания$\frac{A}{D}+\frac{B}{D}=\frac{A+B}{D}$$\frac{A}{D}-\frac{B}{D}=\frac{A-(B)}{D}$

• Внимательно: при знаке «-» следует заключать в скобки $\frac{A}{D}-\frac{B-C}{D}=\frac{A-\left(B-C\right)}{D}$

• Каждый числитель со своим знаком и в скобках: $\frac{A}{D}-\frac{B}{D}+\frac{C}{D}-\frac{K}{D}=+\frac{\left(A\right)-\left(B\right)+\left(C\right)-\left(K\right)}{D}$

• Противоположные Знаменатели, надо «поменять знак»:$\frac{5}{y-4}-\frac{1}{4-y}=\frac{5}{y-4}-\frac{1}{-\left(y-4\right)}=\frac{5}{y-4}+\frac{1}{y-4}=\frac{\left(5\right)+\left(1\right)}{y-4}$

Пример 2: $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}$

• Смотрим на знаменатели:$3a-b$и$b-3a$ . Противоположные! Нехитро меняем знак:$b-3a=-\left(3a-b\right)$
• Поменяем знаменатель 3-ей дроби на противоположное:$\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}$
• «Перебросим знак вперед»:$\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}$- теперь, все знаменатели одинаковые.
• Складываем числители:$\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}$ — каждый в своей скобке и со своим знаком.
• Раскрываем аккуратно скобки и упрощаем$=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$.Итого:
• $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}=\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$

Алгебра

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 1. Сложим дроби .

Решение: Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а3b4. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b3 и 2а2.

Имеем

Пример 2. Преобразуем разность .

Решение: Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Простейшим общим знаменателем служит выражение ab(a + b). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 3. Упростим выражение .

Решение: Представим выражение а — 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

Упражнения

73. Представьте в виде дроби:

74. Выполните сложение или вычитание:

75. Преобразуйте в дробь выражение:

76. Выполните сложение или вычитание:

77. Представьте в виде дроби:

78. Преобразуйте в дробь выражение:

79. Выполните вычитание дробей:

80. Преобразуйте в дробь выражение:

81. Преобразуйте в дробь выражение:

82. Представьте в виде дроби:

83. Упростите выражение:

84. Представьте в виде дроби:

85. Преобразуйте в дробь выражение:

86. Выполните сложение или вычитание дробей:

87. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение выражения не зависит от у.

88. Упростите выражение:

89. Упростите выражение:

90. Преобразуйте в дробь выражение:

91. Выполните вычитание дробей:

92. Выполните сложение или вычитание дробей:

93. Преобразуйте в дробь выражение:

94. Упростите выражение:

95. Упростите выражение и найдите его значение при х = -1,5:

96. Представьте в виде дроби:

97. Преобразуйте в дробь выражение:

98. Упростите выражение:

99. Докажите, что тождественно равны выражения:

100. (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:

     1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
     3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

101. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:

     Укажите неверный ответ.

102. Докажите тождество

     Используя это тождество, упростите выражение

103. Две речные пристани А и B расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t (ч) потребуется катеру на путь от А до Б и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при:

     а) s = 50, v = 25;
     б) s = 105, v = 40.

104. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при s = 10, v = 6.

105. Функция задана формулой у = . Найдите значение функции при х, равном -2; 0; 16. При каком х значение функции равно 3; 0; -9?

106. Постройте графики функций у = -4х + 1 и у = 2х — 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

107. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

2. Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах:

Сложение, Вычитание алгебраических дробей с числовыми знаменателями

Пример 3: Вычесть дроби.$\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}$

• Смотрим на знамeнатели: к какому общему знаменателю можем привести? НОК — наименьшее число, кратное 18 и 12.
• НОК этих чисел 36. Какие дополнительные множители? К первой дроби 2, а ко второй дроби 3.
• $\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}=\frac{5x\cdot\left}{36}-\frac{7y\cdot\left}{36}=\frac{10x-21y}{36}$
• Замечание: фактически, мы умножили числитель и знаменатель 1-ой дроби на 2; Аналогично для 2-ой дроби на 3. «основное свойство»
• Таким образом получили в обеих дробьях одинаковые знаменатели, 36 и 36. И сложение-вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило:1. найти Н.О.К их знаменателей. Это и будет общим знаменателем…2. найти дополнительные множители для каждой дроби по-отдельности: = ( Общее ) : (его знаменатель) 3. вычислить числители «приведенных» дробей: =(старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .