Что нужно знать о механических волнах в физике

Колебания и волны

Колебания — повторяющийся в самой разной степени во времени процесс изменения состояний системы. К примеру, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и обратную сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.
Колебания практически всегда связаны с попеременным изменением энергии одной формы проявления в иную форму.
Отличие колебания от волны.
Колебания разной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно связаны c волнами. Благодаря этому исследованиями таких закономерностей занимается обобщённая доктрина колебаний и волн.

Значительное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» изменения энергии.Спецификации колебаний
Выделение разнообразных видов колебаний зависит от свойства, которое хотят выделить.
Для подчёркивания различной физической природы колеблющихся систем (осцилляторов) выделяют, к примеру, колебания:

• механичные (звук, вибрация);
• электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые);
• конфигурации перечисленных выше;

По характеру взаимные действия с внешней средой:

• вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия;
• свои или свободные — колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после первоначального воздействия внешней силы, дается для себя (в настоящих условиях свободные колебания всегда затухающие);
• автоколебания — колебания, при которых система имеет запас возможный энергии и она расходуется на совершение колебаний (пример подобной системы — механичные часы).

Характеристики колебаний

Амплитуда(м) — максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого среднего её значения для системы.
Зазор времени(сек), через который повторяются какие-нибудь критерии состояния системы (система совершает одно полное колебание), именуют временем колебаний.
Число колебаний в единицу времени именуется частотой колебаний(Гц, сек-1).
Период колебанийи частота– обратные величины;
В круговых или циклических процессах заместо характеристики «частота» применяется понятие круговая или циклическая частота(Гц, сек-1, об/сек), показывающая число колебаний за время 2?:
Фаза колебаний — определяет смещение практически в любое время времени, т.е. определяет состояние колебательной системы.
Меркурий — ближайшая к Солнцу планета. Римляне в древние времена считали Меркурия покровителем торговли, туристов и воров, и еще вестником богов. В этом нет ничего удивительного, что маленькая планета, быстро перемещающаяся по небу вслед за Солнцем, обрела его имя. Меркурий был известен еще с древности, впрочем древние астрологи не сразу убедились, что вечером и утром …

Измерение времени

Дать ответ «что такое время» непросто. В самом общем виде можно сказать, что время — это постоянная вереница сменяющих друг друга явлений. Ключевое свойство времени заключается в том, что оно продолжается, течет безостановочно. Пространство можно уберечь, но время остановить нереально. Время необратимо — поездки на машине времени в прошлое невозможны. «Нельзя …

Слог + картинка

Слог + картинка На шаге самостоятельного чтения применяется упражнение “Слог + картинка”. Подобного рода задания нечасто встречаются в учебных пособиях, однако они крайне полезны, так как помогают раннему появлению осмысленного чтения. Ребенку предлагается объединить картинку со слогом, на который начинается ее наименование. В ином варианте задания под …

Патрокл — заблудившаяся комета

Астрологи из университета Berkeley (Калифорния), работая с коллегами из Франции на телескопе ми. Вильяма Кека (Гавайи), провели подробные наблюдения двойного астероида Patroclus (Патрокл), который обращается вокруг Солнечного света по такой же орбите, что и Юпитер. Отделав данные, ученые поняли, что и сам астроид и его компаньон, возможно, сформированы в основном из водяного …

Механические колебания. Свободные, затухающие и вынужденные колебания

Подробности

Обновлено 21.07.2018 11:53

«Физика — 11 класс»

В современной физике существует специальный раздел — физика колебаний, которая занимается исследованием вибраций машин и механизмов.

Механические колебания

Механические колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Примеры колебаний: движения поршней в двигателе автомобиля, поплавка на волне, ветки дерева на ветру.

Колебательные движения, или просто колебания — это повторяющиеся движения тел.

Если движение повторяется точно, то такое движение называется периодическим.

Что является характерным признаком колебательного движения?
При колебаниях движения тела повторяются.
Так, маятник, совершив один цикл колебаний, вновь совершает такой же цикл и т.д.

Маятником называют подвешенное на нити или закрепленное на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести Земли.

Примеры маятников:

Пружинный маятник,

2. Нитяной маятник — груз, подвешенный на нити.
В положении равновесия нить вертикальна и сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой упругости нити.

Если шарик отклонить и затем отпустить, то он начнет колебаться (качаться) из стороны в сторону.

Колебания бывают свободными, затухающими и вынужденными.

Свободные колебания.

Группу тел, движение которых изучают, называют в механике системой тел. Внутренние силы — это силы, действующие между телами системы. Внешние силы — это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Самый простой вид колебаний — свободные колебания.

Свободными колебаниями называются колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставлена затем самой себе.

Примеры свободных колебаний: колебания груза, прикрепленного к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Затухающие колебания.

После выведения системы из положения равновесия создаются условия, при которых груз колеблется без воздействия внешних сил.
Однако с течением времени колебания затухают, так как на тела системы всегда действуют силы сопротивления.
Под действием внутренних сил и сил сопротивления система совершает затухающие колебания.

Вынужденные колебания.

Для того чтобы колебания не затухали, на тела системы должна действовать периодически изменяющаяся сила.
Постоянная сила не может поддерживать колебания, так как под действием этой силы может измениться только положение равновесия, относительно которого происходят колебания.

Вынужденными колебаниями называются колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Следующая страница «Условия возникновения свободных колебаний. Математический маятник»

Назад в раздел «Физика — 11 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин»

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Свободные, затухающие и вынужденные колебания —
Условия возникновения свободных колебаний. Математический маятник —
Динамика колебательного движения. Уравнение движения маятника —
Гармонические колебания —
Фаза колебаний —
Превращение энергии при гармонических колебаниях —
Вынужденные колебания. Резонанс —
Примеры решения задач —
Краткие итоги главы

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

• наличие источника звука;
• наличие упругой среды между источником и приемником звука;
• наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
• мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

• инфразвук (​\( \nu \)​ < 16 Гц);
• звуковой диапазон (16 Гц < \( \nu \) < 20 000 Гц);
• ультразвук (\( \nu \) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

от упругих свойств среды:

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

от температуры среды:

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

• Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
• Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
• Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.Шум – хаотическая смесь тонов.

Распространение волн в упругих средах

Подробности

Обновлено 20.07.2018 23:24

«Физика — 11 класс»

На резиновом шнуре, по струне или в тонком стержне волны могут распространяться только по одному направлению — вдоль.
Если же газ, жидкость или твердое тело сплошь заполняют некоторую область пространства (сплошная среда), то возникшие в одном месте колебания распространяются по всем направлениям.

Волна при распространении от какого-либо источника в сплошной среде постепенно захватывает все более обширные области пространства

По форме фронта волны и волновых поверхностей проводится классификация волн.

Плоская волна. Волновая поверхность и луч.

Плоскую волну можно получить, если поместить в упругую среду большую пластину и заставить ее колебаться в направлении нормали к пластине.
Все точки среды, примыкающие к пластине с одной стороны, будут совершать колебания с одинаковыми амплитудами и фазами.
Эти колебания будут распространяться в виде волн в направлении нормали к пластине, причем все частицы среды, лежащие в плоскости, параллельной пластине, будут колебаться в одной фазе.
Поверхность равной фазы называется волновой поверхностью.
В случае плоской волны волновые поверхности представляют собой плоскости.

Так как все точки, принадлежащие одной волновой поверхности, колеблются одинаково, то уравнение плоской бегущей волны будет иметь вид

где s — смещение всех точек волновой поверхности в данный момент времени.
Ось X совпадает с направлением распространения волны и перпендикулярна волновой поверхности.

Волна может считаться плоской лишь приближенно, т.к. на краях волновые поверхности искривляются.

Линия, нормальная к волновой поверхности, называется лучом.
Под направлением распространения волн понимают направление именно лучей.
Лучи для плоских волн представляют собой параллельные прямые.

Вдоль лучей происходит перенос энергии.
При распространении плоской волны размеры волновых поверхностей по мере удаления от пластины не меняются (или почти не меняются).
Поэтому энергия волны не рассеивается в пространстве и амплитуда колебаний частиц среды уменьшается только за счет действия сил трения.

На поверхности воды легко получить линейные волны, которые дают наглядное представление о плоских волнах в пространстве.
Для этого нужно стержень, слегка касающийся поверхности воды, заставить колебаться в направлении, перпендикулярном поверхности воды. Все частицы воды, находящиеся на прямой, параллельной стержню, будут колебаться в одинаковой фазе.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых дошли возмущения в данный момент времени.
Фронт волны отделяет часть пространства, в которой возникли колебания, от той части пространства, в которой колебаний нет.
Волновых поверхностей существует сколь угодно много, фронт волны один.
Очевидно, что фронт волны — волновая поверхность, на которой фаза колебаний равна нулю.

Сферическая волна

Другой пример волны в сплошной среде — это сферическая волна.
Она возникает, если поместить в среду пульсирующую сферу.

В этом случае волновые поверхности являются сферами.
Лучи направлены вдоль продолжений радиусов пульсирующей сферы.

Амплитуда колебаний частиц в сферической волне обязательно убывает по мере удаления от источника.
Энергия, излучаемая источником, в этом случае равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус которой непрерывно увеличивается по мере распространения волны.

Следующая страница «Звуковые волны»

Назад в раздел «Физика — 11 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин»

Механические волны. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Волновые явления —
Распространение механических волн —
Длина волны. Скорость волны. Уравнение гармонической бегущей волны —
Распространение волн в упругих средах —
Звуковые волны —
Краткие итоги главы

Задачи по теме механические колебания и волны с решениями

Здесь мы постарались собрать несколько типовых и при этом разноплановых задач на механические колебания.

Кстати! Для наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.

Задача №1. Гармонические колебания

Условие

Точка совершает колебания по гармоническому закону. Амплитуда колебаний равна 5 см, а период – 4 секунды. Каковы максимальная скорость колеблющейся точки и её ускорение?

Решение

Запишем уравнение гармонических колебаний:

Здесь омега – циклическая частота:

 Скорость и ускорение точки вычисляются по формулам механики:

Модули ускорения и скорости максимальны тогда, когда значение тригонометрической функции в выражениях равно единице:

 Ответ: 8 см/с; 12 см/с^2.

Задача №2. Длина волны

Условие

Какова длина волны основного тона ноты «ля» частотой 435 Гц? Скорость звука в воздухе принять равно 340 м/с.

Решение

Известно, период – величина, обратная частоте. А длина волны связана с периодом колебаний и скоростью их распространения соотношением:

 Тогда можно записать:

Ответ: 0,78 м.

Задача №3. Затухающие колебания

Условие

Груз массой 0,2 кг подвешен на пружине и помещен в масло. Коэффициент сопротивления r в масле равен 0,5 кг/с. Коэффициент жесткости пружины k равен 50 Н/м. Найти частоту затухающих колебаний груза.

Решение

Циклическая частота затухающих колебаний можно определяется по формуле:

Теперь определим обычную частоту:

Ответ: 2,51 Гц.

Задача №4. Эффект Доплера

Условие

Гудок неподвижного электровоза дает сигнал с частотой 300 Гц. Какова кажущаяся частота гудка для пассажира, который в другом поезде приближается к электровозу со скоростью 40 м/с? Удаляется от него с той же скоростью?

Подробнее про эффект Доплера читайте в отдельной статье нашего блога.

Решение

Формула, связывающая испускаемую и воспринимаемую частоты при эффекте Доплера:

Здесь с – скорость волн в среде (в нашем случае скорость звука), u – скорость приемника относительно среды, v – скорость источника относительно среды. Когда поезд приближается:

При движении от источника звука:

Ответ: 335,3 Гц; 264,7 Гц.

Задача №5. Математический маятник

Условие

Математический маятник колеблется с амплитудой А и максимальной скоростью Vm. Найти длину маятника l.

Решение

Запишем уравнение гармонических колебаний математического маятника:

Взяв первую производную, получим скорость и выразим период:

В итоге получаем:

Ответ: см. решение.

Виды механических волн

Виды волн по отношению к направлению колебаний частиц среды:

1. Продольные — это волны, в которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.
2. Поперечные — это волны, в которых частицы среды колеблются перпендикулярно направления распространения волны.

В жидкой и газообразной средах возникают только продольные волны.

В твердой среде возникают как продольные волны, так и поперечные.

Типы волн в зависимости от физической среды:

1. Электромагнитные.
2. Упругие.
3. Волны в плазме.
4. Гравитационные.
5. Объемные.
6. Волны на поверхности жидкости.

Это лишь некоторые примеры. В действительности существует множество классификаций волн.

Характеристики механических волн

Основные определения, обозначения, единицы измерения:

1. Длина волны — это расстояние между двумя ближайшими точками, которые колеблются в одинаковых фазах. Обозначается λ, измеряется в метрах(м).
2. Период — это время, за которое совершается одно полное колебание. Обозначается T, измеряется в секундах (с).
3. Амплитуда — это максимальное смещение колеблющейся точки от равновесного положения. Обозначается A, измеряется в метрах (м).
4. Скорость — это скорость, с которой распространяется волна. Обозначается V, измеряется в метрах, деленных на секунду (м/с).
5. Частота — это количество полных колебаний за единицу времени. Обозначается v, измеряется в герцах (Гц).

Дифференциальные уравнения свободных гармонических колебаний

Поведем дифференцирование по времени выражения (1), тогда первая производная равна:

$\frac {ds}{dt}=s_m \omega_0 cos (\omega_0 t +\varphi + \frac{\pi}{2})$(6).

Вторая производная по времени от (1):

$\frac {d^2s}{dt^2}=-s_m \omega_0^2 cos (\omega_0 t +\varphi + \pi)$(7).

В выражении (6) мы получили скорость колебаний, в (7) ускорение. Данные параметры движения колеблются с той же циклической частотой и амплитудами равными:

$v_m=s_m \omega_0$; $a_m= s_m \omega_0^2$.

Из формулы (6) мы видим, что фаза скорости отлична от фазы смещения $s$ на $\frac{\pi}{2}$, тогда как фаза ускорения смещена на $\pi$. Это означает то, что в тот момент времени, когда смещение равно нулю ($s=0$), скорость наибольшая. Если $s$ максимально и отрицательно, то ускорение имеет наибольшую положительную величину.

Из выражений (1) и (7) легко сделать вывод о том, что дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний записывается в виде:

$\frac {d^2s}{dt^2}+\omega_0^2 s=0(8).$

Решением данного уравнения служит $s(t)$ вида (1).

Длина волны

Рассмотрим простой пример: веревка, которую с одной стороны держит ученик, а с другой она закреплена за опору (рисунок 3). Ученик начинает периодически встряхивать веревочку, вследствие чего по ней начинают идти волны.

Упрощенно можно сказать, что распространение колебаний волны в веревочке представляет собой чередование «горбов» и «впадин». Можно заметить, что расстояние между каждыми двумя соседними «горбами» или «впадинами» везде одинаковое. Это и есть длина волны для конкретно взятого примера. Длина волны обозначается буквой λ (читается как «лямба» или, иногда, «ламбда»). В СИ:

Чтобы обобщить понятие длины волны, нужно ввести другие характеристики.

Вынужденные колебания

Определение 5

Вынужденными называют колебания, если на колебательную систему происходит периодическое воздействие внешней силы (имеется источник энергии).

Вынужденными механическими колебаниями можно назвать звуковую волну, которая распространяется в веществе при наличии источника звука.

Для получения в реальной системе незатухающих колебаний, следует компенсировать потери энергии. Данная компенсация возможна при действии, например, периодического фактора
$X(t)$, который изменяется в соответствии с законом:

$X(t)=X_0 \cos (\omega t)(12).$

При механических колебаниях вместо $X(t)$ можно записать внешнюю вынуждающую силу:

$F=F_0 \cos (\omega t) (13).$

Рассмотрим колебания тела на упругой пружине. Уравнением его колебаний будет:

$m \ddot{ x} =-kx-r\dot{x} (14),$

где $r$ — коэффициент сопротивления; $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$; $k$ — коэффициент упругости пружины; $m$ — масса тела на пружине. Коэффициент затухания при этом равен:

$\delta = \frac{r}{2m}(15).$

Уравнения вынужденных колебаний с учетом (13) запишем в виде:

$m \ddot{ x} =-kx-r\dot{x}+F_0 \cos (\omega t) (16).$

Или в виде:

$\ddot {x}+2\delta \dot {x}+\omega_0^2x=\frac {F_0}{m}\cos (\omega t) (17).$

Уравнение (17) — это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Условия появления и существования волны

Условия появления и существования:

1. Колебательное движение передается не мгновенно, а с опозданием. Поэтому скорость распространения волны конечна.
2. Источник механических волн — это колеблющееся тело. При распространении волны колебания частиц среды — вынужденные, поэтому частота колебаний каждой части среды такая же, как и частота колебаний источника волны.
3. Механические волны не распространяются в вакууме.
4. Волновое движение не сопровождается переносом вещества.
5. При распространении волны происходит перенос энергии.
6. Важнейшее свойство волны — перенос энергии без переноса вещества.

Механическая волна и ее возникновение

Основная теория и понятия.

Для того чтобы возникала волна, необходимо наличие колеблющегося тела — источника волны. Источник волны осуществляет колебательное движение, тем самым деформируя ближайшие к нему слои среды (сжимает, растягивает, смещает).

В результате возникает сила упругости, которая действует на соседние слои среды и заставляет их совершать вынужденные колебания. Эти слои деформируют следующие слои и так далее, пока все слои не будут вовлечены в колебательное движения. Таким образом возникает механическая волна.

Необходимым условием возникновения волн является наличие у среды упругих свойств.

Классификации волн[]

Имеется множество классификаций волн, различающиеся по своей физической природе, по конкретному механизму распространения, по среде распространения и т. п.

В зависимости от физической среды, в которой распространяются волны, их свойства различны и поэтому различают:

• электромагнитные волны (радиоволны, свет, рентгеновские лучи);
• упругие волны (звук, сейсмические волны);
• волны в плазме;
• гравитационные волны;
• объёмные волны (распространяющиеся в толще среды);
• волны на поверхности жидкости.

По отношению к направлению колебаний частиц среды, в которой распространяется волна, выделяют: продольные волны (волны сжатия, P-волны) — волна распространяется параллельно колебаниям частиц среды (звук); поперечные волны (волны сдвига, S-волны) — частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (электромагнитные волны, волны на поверхностях разделения сред); волны смешанного типа. По виду фронта волны (поверхности равных фаз): плоская волна — плоскости фаз перпендикулярны направлению распространения волны; сферическая волна — поверхностью фаз является сфера; цилиндрическая волна — поверхность фаз напоминает цилиндр.

Продольные волны: Поперечные волны: Файл:Onde compression impulsion 1d 30 petit.gif а) плоская; Файл:Onde cisaillement impulsion 1d 30 petit.gif а) плоская; Файл:Ondes compression 2d 20 petit.gif б) сферическая. Файл:Ondes cisaillement 2d 20 petit.gif б) сферическая.

По демонстрируемым волнами физическим проявлениям:

• линейные волны — волны с небольшой амплитудой, свойства которых описываются простыми линейными зависимостями;
• нелинейные волны — волны с большими амплитудами, что приводит к возникновению совершенно новых эффектов и существенно изменяет характер уже известных явлений;
• солитоны (уединённые волны);
• ударные волны или нормальные разрывы.

По постоянству во времени различают:

одиночная волна — короткое одиночное возмущение (солитоны);

волновой пакет — это ряд возмущений, ограниченных во времени с перерывами между ними. Одно беспрерывное возмущение такого ряда называется цуг волн. В теории волновой пакет описывается как сумма всевозможных плоских волн, взятых с определёнными весами. В случае нелинейных волн, форма огибающей волнового пакета эволюционирует с течением времени;

• Подобно сложным колебаниям, волновые цуги и негармонические волны могут быть представлены в виде суммы (суперпозиции) синусоидальных волн разных частот. Когда фазовые скорости всех этих волн одинаковы, то вся их группа (волновой пакет) движется с одной скоростью.
• Если же фазовая скорость волны зависит от её частоты w, наблюдается дисперсия – волны различных частот идут с разной скоростью. Нормальная, или отрицательная дисперсия тем больше, чем выше частота волны. За счет дисперсии, например, луч белого света в призме разлагается в спектр, в каплях воды – в радугу. Волновой пакет, который можно представить как набор гармонических волн, лежащих в диапазоне w0 ± Dw, из-за дисперсии расплывается. Его форма – огибающая амплитуд компонент цуга – искажается, но перемещается в пространстве со скоростью vгр, называемой групповой скоростью. Если при распространении волнового пакета максимумы волн, его составляющих, движутся быстрее огибающей, фазовая скорость сигнала выше групповой: сф > vгр. При этом в хвостовой части пакета за счет сложения волн возникают все новые максимумы, которые передвигаются вперед и пропадают в его головной части. Примером нормальной дисперсии служат среды, прозрачные для света – стекла и жидкости.
• В ряде случаев наблюдается также аномальная (положительная) дисперсия среды, при которой групповая скорость превышает фазовую: vгр > сф, причем возможна ситуация, когда эти скорости направлены в противоположные стороны. Максимумы волн появляются в головной части пакета, перемещаются назад и исчезают в его хвосте.

Распространение колебаний в среде

Чтобы понять, что такое колебания в среде достаточно представить несколько простых примеров:

• камень бросили в воду, по поверхности воды тут же расходятся круги – это и есть колебания поверхности воды;
• игра на гитаре – струна начинает колебаться после прикосновения музыканта.

Рассмотрим простую ситуацию распространения колебаний в среде: длинная пружинка, закрепленная с одной стороны, а с другой на нее оказывается периодическое внешнее воздействие, например, равномерные толчки рукой (см. рисунок 1).

После первого толчка часть пружинки, которая находится ближе к руке, сожмется (см. рисунок 1а), а потом из-за упругих свойств пружины, разожмется, воздействуя на витки, лежащие правее первоначального сжатия (см. рисунок 1б).  Таким образом сжатие будет «продвигаться» вправо (влево – нет, так как ему мешает рука, блокирующая левый край пружины). После следующего толчка рукой образуется новое сжатие, которое тоже будет «продвигаться» вправо, потом следующее сжатие и т.д. (см. рисунок 1в).

Обобщить все сказанное можно следующим образом: колебания в среде или даже колебания среды (ведь пружинка – это среда) представляют собой некое возмущение, распространяющееся от места их возникновения без переноса вещества. Источником таких возмущений является колеблющееся тело (или некое периодическое воздействие). Такое возмущение и называется волной. Рассмотрим это явление подробнее.

Вопросы на тему «Механические колебания и волны»

Вопрос 1. Что такое волна?

Ответ. Волна – это колебания, распространяющиеся в среде с течением времени. Волны могут иметь разную физическую природу, они бывают механические, электромагнитные и т.д.

Вопрос 2. Что такое колебание?

Ответ. Колебание – процесс изменения состояний системы, в той или иной степени повторяющийся во времени.

Принципиальное отличие волн от колебаний: при колебаниях отсутствует перенос энергии.

Вопрос 3. Приведите примеры механических колебаний в повседневной жизни.

Ответ. Механические колебания:

• маятник часов;
• раскачивающиеся качели;
• вибрации гитарной струны;
• качка корабля на волнах и т.д.

Вопрос 4. Приведите примеры механических волн.

Ответ. Механические волны:

• звук;
• морские волны;
• сейсмические волны.

Вопрос 5. Какие колебания называются гармоническими?

Ответ. Гармонические колебания – это колебания, в которых изменение какой-либо физической величины происходит по закону синуса или косинуса.

Держите под рукой полезные формулы, которые пригодятся при решении задач. А перед тем как начать самостоятельно решать задачи, рекомендуем ознакомиться с универсальной памяткой.

Скорость распространения волны

Под скоростью распространения волны понимают скорость распространения колебаний (возмущения). Так же можно сказать, что скорость продольной или поперечной волны – это скорость переноса энергии бегущей волны. Скорость, как и всегда, обозначается буквой  ν (в данном случае, скорость – вектор, в эту величину включается и модуль, и направление движения; если в условиях конкретной задачи необходим только модуль скорости, он обозначается ν).

Волны, распространяющиеся в пространстве, удобно рассматривать, используя функции. Обратимся к примеру, с пружиной, представленному ранее. Вдоль пружины можно выбрать координатную ось х. Волны, бегущие в пружине – это волны уплотнения и растяжения. Тогда можно задать относительную деформацию ε как функцию от координаты х:

То есть, пользуясь этой функцией, мы сможем вычислить деформацию в каждой точке пружины, а также можно построить график – рисунок 4.

Как уже говорилось ранее, волна распространяется (бежит) по пружине с течением времени (t). Скорость бегущей волны v. Чтобы учесть это, воспользуемся свойством смещения графика функции, и зададим плотность так:

График функции, заданной в таком виде, при равномерном увеличении t будет ползти вправо. То есть каждая точка графика будет двигаться вправо со скоростью v (рисунок 5).

Для задания волны, бегущей влево, нужно задать смещение с противоположным знаком:

Приведенные выражения называются уравнениями бегущей волны. Удобство такого рассмотрение заключается в том, что наложение множества волн с разными характеристиками можно рассматривать просто как математическую функцию, и использовать для этого весь мат. аппарат. В программе старших классах будет разобрано, как это применяется для исследования свойств одной волны и наложения двух и трех волн.А пока достаточно знать, как по виду функции определить, в каком направлении движется волна.

*Математическое отступление.

Напомним, что математическая функция в узком смысле — это закон, который в соответствие одному числу ставим другое. В записи:

Затухающие колебания

В реальной действительности любые свободные колебания являются затухающими.

Определение 4

Колебания называют затухающими, если их амплитуда в результате энергетических потерь с течением времени уменьшается.

Самым простым механизмом уменьшения энергии в колебательной системе является ее трансформация в тепловую энергию, в результате наличия сил трения.

Формула, которая описывает затухание колебаний, определена свойствами системы, выполняющей движения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы можно представить в виде:

$\frac{d^2 s}{dt^2}+2\delta \frac{ds}{dt}+\omega_0^2 s =0 (9)$,

где $\delta$ — коэффициент затухания; $\omega_0$ — круговая частота свободных незатухающих колебаний этой же колебательной системы (если $\delta =0$) называется собственной частотой.

Если затухание колебаний мало ($\delta^2 \ll \omega_0^2$), то решением дифференциального уравнения (9) является функция вида:

$s=s_0 e^{-\delta t} \cos (\omega t +\varphi) (10),$

где $\omega = \omega_0^2-\delta^2$; $s_0=s_m e^{-\delta t}$ — амплитуда колебаний при их затухании ($s_m $- начальная амплитуда).

Замечание 1

Строго говоря, затухающие колебания нельзя отнести к периодическим. К ним нельзя применять понятия:

• период;
• частота.

Иногда при очень малом затухании понятие период используют для обозначения отрезка времени между парой соседних максимумов (минимумов) параметра колебания. В этом случае период затухающих колебаний вычисляют как:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt {\omega_0^2-\delta^2}}(11).$

Конечным результатом эволюции колебательной системы с затухающими колебаниями является стремление ее к состоянию равновесия. Данное поведение понятно, поскольку связано с потерей энергетического запаса на совершение работы против сил трения в механической системе.

2.2. Свободные колебания. Пружинный маятник window.top.document.title = «2.2. Свободные колебания. Пружинный маятник»;

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2.2.1.Колебания груза на пружине. Трения нет

Круговая частота ω свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

Частота ω называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x, равную

ωT

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний

Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω или период T. Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда xm и начальная фаза φ, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x_m = Δl, φ = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость
то ,

Таким образом, амплитуда x_m свободных колебаний и его начальная фаза φ определяются начальными условиями.

Модель. Колебания груза на пружине

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M_упр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

I = I_Cε

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Рисунок 2.2.2.Крутильный маятник

изготовление стикеров

aksiomaprint.ru