Номер 315 - гдз по алгебре 8 класс макарычев

Алгебра

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Пусть площадь квадрата равна 64 см2. Чему равна длина стороны этого квадрата?

Обозначим длину стороны квадрата (в сантиметрах) буквой х. Тогда площадь квадрата будет х2 см2. По условию площадь равна 64 см2, значит, х2 = 64.

Корнями уравнения х2 = 64 являются числа: 8 и — 8. Действительно, 82 = 64 и (-8)2 = 64. Так как длина не может выражаться отрицательным числом, то условию задачи удовлетворяет только один из корней — число 8. Итак, длина стороны квадрата равна 8 см.

Корни уравнения х2 = 64, т. е. числа, квадраты которых равны 64, называют квадратными корнями из числа 64.

Определение: Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Число 8 — неотрицательный корень уравнения х2 = 64 — называют арифметическим квадратным корнем из 64. Иначе говоря, арифметический квадратный корень из 64 — это неотрицательное число, квадрат которого равен 64.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают . Знак — √ называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала (от латинского слова radex — корень). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись читают: квадратный корень из а (слово «арифметический» при чтении опускают).

Приведём примеры нахождения (или, как говорят иначе, извлечения) арифметических квадратных корней:

= 2, так как 2 — число неотрицательное и 22 = 4;

= 1,1, так как 1,1 — число неотрицательное и 1,12 = 1,21;

= 0, так как 0 — число неотрицательное и 02 = 0.

Вообще

= b, если выполняются два условия:

1) b ≥ 0; 2) b2 = а.

При а < 0 выражение не имеет смысла.

Действительно, квадрат любого числа есть число неотрицательное. Например, не имеют смысла выражения .

Из определения арифметического квадратного корня следует, что

при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство

()2 = а.

Упражнения

Докажите, что:

а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25;
б) число 0,3 есть арифметический квадратный корень из 0,09;
в) число -7 не является арифметическим квадратным корнем из 49;
г) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6.
Докажите, что:
Найдите значение корня:
Вычислите:
Найдите значение выражения:
Найдите значение выражения:
Найдите значение выражения:
Найдите значение выражения:
Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите:
Укажите натуральные значения n, при которых является натуральным числом значение выражения:
Какая из точек — А или В — координатной прямой ближе к точке с координатой нуль, если:
Имеет ли смысл выражение:
Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6.
Найдите значение переменной х, при котором:
Существует ли значение переменной х, при котором:
(Для работы в парах.) При каком значении переменной х верно равенство:

1) Обсудите, о каких равенствах можно сразу сказать, что они не являются верными ни при каких значениях х. Исключите их из рассмотрения.
2) Распределите, кто выполняет оставшиеся задания из первой строки, а кто — из второй строки, и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.
Найдите значение переменной х, при котором верно равенство:
Найдите натуральные значения п, при которых значение выражения является двузначным числом.
Постройте на миллиметровой бумаге график функции у = х2 для значений х от -3 до 3. С помощью графика найдите:

а) значение у, соответствующее х = -2,5; 1,7;
б) значения х, которым соответствует значение у, равное 5; 7,5;
в) квадрат числа -1,4; 2,8;
г) числа, квадраты которых равны 2,5; 9.
Найдите значение выражения 1,5х3y2 • 6,2ху, если х = 1,25, у = 4.
Запишите без знака модуля:

а) |а2|; б) |а3|, где а > 0; в) |а3|, где а < 0.