С ГДЗ к учебнику Мерзляка легко работать
Некоторые родители сразу начинают искать репетитора, стоит ребенку пожаловаться на недопонимание предмета. Но не всегда подобный способ решить проблемную ситуацию может быть правильным. Стоит учитывать, что наемного преподавателя не будет рядом на контрольных или предстоящем вскоре экзамене, чтобы подсказать верный ответ. Поэтому нужно добиться, чтобы учащиеся самостоятельно проработали все трудные моменты. Сделать им это поможет сборник ответов за 8 класс по алгебре к учебника Мерзляка А. Г., Полонского В. Б., Якира М. С..
Есть несколько причин, почему стоит отдать предпочтение именно решебнику:
- он составлен опытными методистами;
- содержит только проверенную информацию;
- соответствует всем требованиям ФГОС;
- зарекомендовал себя с лучшей стороны.
Многие школьники, кто уже воспользовался справочником, отмечают, что стали намного проще воспринимать и запоминать материал, что помогло им выбиться в отличники. Еще одним неоспоримым достоинством пособия можно считать то, что оно находится в онлайн-доступе. Это значит, что воспользоваться им можно в любой момент, в том числе и на перемене перед уроком.
Решебник — неотъемлемая часть учебного процесса
Обучение в восьмом классе протекает достаточно напряженно
У подростков появляется новый сложный предмет в расписании, который перетягивает все внимание на себя. Из-за этого учащиеся начинают более фривольно относиться к другим дисциплинам, что порождает возникновение затруднений при их изучении
С помощью «ГДЗ по Алгебре за 8 класс Учебник Мерзляк А. Г.» школьники смогут изменить ситуацию.
Издание станет незаменимым помощником, который позволит:
- проверить домашнее задание на наличие ошибок;
- обнаружить и исправить все недочеты;
- запомнить формулы и уравнения;
- свободно пользоваться полученными навыками.
Использование решебника — это современный способ решения учебных проблем. Подросткам не нужно тратить дополнительное время на поездки к репетитору или искать информацию в различных источниках. Можно сказать, что у них под рукой всегда находится профессиональный помощник, который в любое время дня и ночи ответит на возникший вопрос. С ГДЗ все ученики будут чувствовать себя уверенно и спокойно, ведь хорошая оценка им уже обеспечена.
Нюансы изучения алгебры в 8 классе
Чтобы хорошо изучить точные науки, нужен не только математический склад ума, но и предельная сосредоточенность
Внимательное отношение к предмету, особенно такому как алгебра, просто необходимо, иначе легко упустить что-то важное. Кроме того, ученикам нужно тщательно разбирать все аспекты тематики дома, в чем им поможет «ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир»
- Рациональные дроби, действия с ними.
- Степени с отрицательным и целым показателем.
- Равносильные и рациональные уравнения.
- Функции у=k/x и у=x 2, их график.
- Множества и квадратные корни.
- Трехчлены, и т.д.
Выполняя домашние задания, школьники закрепляют полученные в школе навыки. Но что делать, если непонятны условия упражнения или подросток что-то пропустил на уроке? Если решения будут с ошибками, то это отрицательно скажется на оценке. Кому же хочется рисковать успеваемостью? Однако списывать у одноклассников — тоже не вариант. Прекрасным способом преодолеть непростую ситуацию станет использование решебника. В нем восьмиклассники найдут не только необходимые подсказки, но и много другой полезной информации, которая поможет им успешно разобраться в параграфе.
Понятие рационального выражения
В и классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.
Следующие дроби являются числовыми:
Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:
Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь
бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.
Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь
при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.
Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби
Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство
х – у = 0
или равносильное ему равенство
х = у
Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.
Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби
Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:
Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому
Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):
По свойству пропорции имеем:
1•а ≠ 1•b
а ≠b
Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.
Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби
Решение.
Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:
х2 – 25 ≠ 0
Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение
х2 – 25 = 0
Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:
х2 – 52= 0
(х – 5)(х + 5) = 0
х = 5 или х = – 5
Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.
Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.
Пример. Докажите тождество
Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства
(с3 – 2с2 + с – 2) = (с – 2)(с2 + 1)
Раскроем скобки в правой части:
(с – 2)(с2 + 1) = с3 – 2с2 + с – 2
Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.
Теперь сформулируем понятие рационального выражения.
Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.
Приведем примеры целых рациональных выражений:
А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:
Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:
- – это дробь, но целое, а не дробное выражение;
- (х + 7):t – это дробное выражение, но не дробь.
Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.
Пример. Найдите все корни уравнения
Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:
(х – 1)(х + 2) = 0
х – 1 = 0 или х + 2 = 0
х = 1 или х = – 2
Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель
2•14 – 3•13 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0
поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:
2•(– 2)4 – 3•( – 2)3 + 5•( – 2) – 4 =
= 32 + 24 – 10 – 4 = 42
Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).
Ответ: – 2
Представление дроби в виде суммы дробей
Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:
Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:
То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,
можно разложить так:
С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:
Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение
Заметим, что знаменатель х2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):
Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что
Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:
Полученная дробь должна равняться исходной дроби:
У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:
(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6
Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:
Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:
а + b = 2
а = 2 – b
Подставим эту формулу во второе уравнение:
2а – 2b = 6
2 (2 – b) – 2b = 6
4 – 4b = 6
– 4b = 10
b = – 2,5
Далее находим a:
а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5
Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:
Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые . Напомним две основные формулы:
Пусть требуется перемножить величины
Эта операция осуществляется так:
Теперь посмотрим, как выполняется деление:
Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:
Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:
При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:
Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:
Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь
Выглядеть это будет так:
