Понятие рационального выражения
В и классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.
Следующие дроби являются числовыми:
Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:
Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь
бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.
Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь
при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.
Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби
Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство
х – у = 0
или равносильное ему равенство
х = у
Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.
Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби
Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:
Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому
Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):
По свойству пропорции имеем:
1•а ≠ 1•b
а ≠b
Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.
Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби
Решение.
Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:
х2 – 25 ≠ 0
Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение
х2 – 25 = 0
Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:
х2 – 52= 0
(х – 5)(х + 5) = 0
х = 5 или х = – 5
Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.
Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.
Пример. Докажите тождество
Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства
(с3 – 2с2 + с – 2) = (с – 2)(с2 + 1)
Раскроем скобки в правой части:
(с – 2)(с2 + 1) = с3 – 2с2 + с – 2
Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.
Теперь сформулируем понятие рационального выражения.
Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.
Приведем примеры целых рациональных выражений:
А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:
Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:
- – это дробь, но целое, а не дробное выражение;
- (х + 7):t – это дробное выражение, но не дробь.
Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.
Пример. Найдите все корни уравнения
Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:
(х – 1)(х + 2) = 0
х – 1 = 0 или х + 2 = 0
х = 1 или х = – 2
Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель
2•14 – 3•13 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0
поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:
2•(– 2)4 – 3•( – 2)3 + 5•( – 2) – 4 =
= 32 + 24 – 10 – 4 = 42
Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).
Ответ: – 2
Представление дроби в виде суммы дробей
Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:
Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:
То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,
можно разложить так:
С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:
Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение
Заметим, что знаменатель х2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):
Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что
Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:
Полученная дробь должна равняться исходной дроби:
У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:
(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6
Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:
Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:
а + b = 2
а = 2 – b
Подставим эту формулу во второе уравнение:
2а – 2b = 6
2 (2 – b) – 2b = 6
4 – 4b = 6
– 4b = 10
b = – 2,5
Далее находим a:
а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5
Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:
Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые . Напомним две основные формулы:
Пусть требуется перемножить величины
Эта операция осуществляется так:
Теперь посмотрим, как выполняется деление:
Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:
Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:
При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:
Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:
Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь
Выглядеть это будет так:
