Действия с корнями

Библиография

• Девлин, Кейт Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC Mathematics. ISBN 978-1-58488-449-1.
• Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики. PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• Лэй, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Пирсон / Прентис Холл. ISBN 978-0-13-148101-5.
• Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс / Коул. ISBN 978-0-534-39900-9.
• Томас-младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитической геометрии (Альтернативная редакция). Эддисон-Уэсли.
• Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Набор инструментов математика. В. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Какими основными свойствами обладают взаимно обратные функции?

Этот пункт посвящён перечислению всех основных свойств y = f (x) и x = g (y), функций взаимно обратных. В первом определении указаны основные положения, используемые в дальнейшем:

1. Выведение первого свойства (y = f (g(y)), x = g (f(x))) было представлено выше.
2. Оно даёт возможность сформулировать следующее свойство: область определений одной и значений другой обратных функций совпадают друг с другом.
3. Обратные функции обладают графиками, которые симметричны по отношению к y = x.
4. Они возрастают и убывают одинаково.

Важно досконально разобраться в понятиях «область значений» и «область определений», чтобы не перепутать их. К примеру, y = f (x) =ax и x = g (y) =loga y взаимно обратны

В соответствии с первым свойством, y = f (g(y)) = alogay. Это равенство верное, когда y имеет положительное значение. При отрицательном определить логарифм нельзя, потому нельзя делать запись: alogay=y. Важно проверять, а затем добавлять фразу: выражение является верным, если y положительный. Причём x = f (g (x)) = loga ax= x верное, когда x принимает любое действительное значение.

Нельзя забывать об этом моменте при работе с обратной или обычной тригонометрической функцией. Таким образом, arcsin (sin (7π/3)) ≠ 7/π3, так как арксинус обладает следующей областью значений: , в которую число 7π/3 не попадает. Правильной записью является следующая: arcsin (sin (7π/3)) = arcsin (sin (2π+π/3)) ={в соответствии с формулой привидения} = arcsin (sin π/3) = π/3. При этом верным равенством будет следующее: sin (arcsin (1/3)) = 1/3, а значит, sin (arcsin x) = x, когда x принадлежит отрезку , а также arcsin (sin x) =x, если x ∈ . Следует соблюдать внимательность, определяя у обратной функции область определений или значений.

Корень n-ной степени

Ключевые слова: степень, основание степени, показатель степени, радикал, квадратный корень

Пусть $$a \ge 0$$
и $$n \in N, n \ne 1$$.
Тогда существует единственное неотрицательное число

x
такое, что выполняется равенство $$x^{n}=a$$.

Это число называется

арифметическим корнем

n-ной степени
из неотрицательного числа и обозначается $$\root n \of {a}$$.

При этом число
a
называется
подкоренным числом , а число
n
—
показателем корня.
Вместо слова «корень» часто говорят

радикал
.
Если
n
= 2, то обычно пишут просто: $$\sqrt{a}$$.

При
n
= 2 арифметический корень называется
квадратным корнем,
при
n
= 3 говорят о
кубическом корне .

Итак, по определению:
$$\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt{a}, \\ a \ge 0. \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
x^n = a, \\ x \ge 0. \end{array} \right.$$. Отсюда следует, что $$(\root n \of {a})^{n}= a$$.

Действия
с корнями

• Величина корня не изменится, если его
  показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в
  степень n.

• Величина корня не изменится, если показатель
  степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из
  подкоренного значения.

• Корень из произведения нескольких сомножителей равен
  произведению корней той же степени из этих сомножителей.
• Обратно, произведение корней одной и той же
  степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений.
• Корень от частного равен частному от деления корня из делимого
  на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми).
• Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту
  степень подкоренное значение.
• Обратно, чтобы извлечь корень из степени,
  достаточно возвести в эту степень корень из основания степени.

Свойства. При $$k, n \in N, n \ne 1, k \ne 1$$
справедливы следующие свойства корней.

• $$\root n \of {a \cdot b} = \root n \of {a} \cdot \root n \of {b}$$;
• $$(\root n \of {a})^{k}= \root n \of {a^{k}}$$;
• $$\root n \of {\root m \of {a}}= \root n \cdot m \of {a}$$;
• $$\root n \cdot m \of {a^{m \cdot k}}= \root n \of {a^{k}}$$

Если

a

x , при котором бы выполнялось равенство $$x^{n}=a$$.
Следовательно, невозможно ввести понятие корня четной степени из
отрицательного числа. Однако определить понятие корня нечётной степени
из отрицательного числа всё же возможно. В самом деле, пусть
a

а

n
— нечётное число, тогда существует единственное число

x
такое, что $$x^{n}=a$$.
Это число и называется

корнем нечетной степени из отрицательного числа . Оно обозначается точно так же: $$\root n \of {a}$$.
Например, $$\root 3 \of {-8}= — 2$$
так как (-2)3= -8.
Для нечетных показателей степени свойства, справедливые для
неотрицательных значений подкоренных выражений, верны также и для
отрицательных значений подкоренных выражений.

См. также:

Степенная функция,
Арифметический квадратный корень,
Логарифм

Какой график имеет каждая взаимно обратная функция?

Для степенной функции y = x a существует обратная x = y 1/a (если соблюдается условие: x > 0). Как обе эти функции выглядят на графике, показано на рисунке ниже, где рассмотрены два случая: когда коэффициент a положительный и отрицательный (рис. 3). Чтобы построить графики для функций логарифмической и показательной, нужно, например, взять число a положительное и не равное одиннадцати. На a > 1, а также a < 1 они выглядят как на рисунке 4. Случай с основными и обратными тригонометрическими функциями (задача заключается в построении главных ветвей арксинусов и синусов) показан на рисунке 5, где специально выделена светлым нужная область. Как на графике выглядят главные ветви арккосинуса и косинуса, демонстрируется на рисунке 6, тангенса и арктангенса — 7, котангенса и арккотангенса — 8.

Иногда возникает необходимость построения обратной ветви, которая отличается от главной. В таком случае необходим сдвиг обратной тригонометрической функции параллельно Oy на расстояние, равное нужному количеству периодов. Например, при необходимости построения обратных функций для ветвей тангенса на интервале от π/2 до 3π/2 сдвиг будет производиться относительно Ox на число ππ. Соответственно, графиками в данной ситуации будут являться ветви арктангенса, сдвинутые на соответствующее число в указанном направлении (рис. 9).

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.

Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
3. Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)

Определение
Степенная функция с показателем степени p

— это функция f(x)
= x p
,
значение которой в точке x
равно значению показательной функции с основанием x
в точке p
.
Кроме этого, f(0) = 0
p = 0

при p > .

Для натуральных значений показателя ,
степенная функция есть произведение n
чисел, равных x
:
.
Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя ,
степенная функция есть произведение n
корней степени m
из числа x
:
.
Для нечетных m
,
она определена для всех действительных x
.
Для четных m
,
степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных ,
степенная функция определяется по формуле:.
Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p
,
степенная функция определяется по формуле:,
где a
— произвольное положительное число, не равное единице: .
При ,
она определена для .
При ,
степенная функция определена для .

Непрерывность
. Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n

Докажите, что уравнение , где – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени из числа . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени .

Решение

Рассмотрим функцию от переменной (П1)   .

Докажем, что она непрерывна. Используя определение непрерывности, покажем, что. Применяем формулу бинома Ньютона:(П2)   . Применим арифметические свойства пределов функции. Поскольку , то отлично от нуля только первое слагаемое:. Непрерывность доказана.

Докажем, что функция строго возрастает при . Возьмем произвольные числа , связанные неравенствами:, , . Нам нужно показать, что . Введем переменные . Тогда . Поскольку , то из видно, что . Или. Строгое возрастание доказано.

Найдем множество значений функции при . В точке , . Найдем предел . Для этого применим неравенство Бернулли. При имеем:. Поскольку , то и . Применяя находим, что . Таким образом, , .

Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция . То есть для любого существует единственное , удовлетворяющее уравнению . Поскольку у нас , то это означает, что для любого , уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени из числа .

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004. С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.

Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
3. Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Площадь квадратного участка земли равна 81 дм². Найти его сторону. Предположим, что длина стороны квадрата равна х
дециметрам. Тогда площадь участка равна х
² квадратным дециметрам. Так как по условию эта площадь равна 81 дм², то х
² = 81. Длина стороны квадрата — положительное число. Положительным числом, квадрат которого равен 81, является число 9. При решении задачи требовалось найти число х, квадрат которого равен 81, т. е. решить уравнение х
² = 81. Это уравнение имеет два корня: x
1 = 9 и x
2 = — 9, так как 9² = 81 и (- 9)² = 81. Оба числа 9 и — 9 называют квадратными корнями из числа 81.

Заметим, что один из квадратных корней х
= 9 является положительным числом. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81 и обозначают √81, таким образом √81 = 9.

Арифметическим квадратным корнем из числа а
называется неотрицательное число, квадрат которого равен а
.

Например, числа 6 и — 6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36, так как 6 — неотрицательное число и 6² = 36. Число — 6 не является арифметическим корнем.

Арифметический квадратный корень из числа а
обозначается так: √а.

Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а
— называется подкоренным выражением. Выражение √а
читаетсятак: арифметический квадратный корень из числа а.
Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят: «корень квадратный из а
«.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Это действие является обратным к возведению в квадрат.

Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратные корни можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа — 4. Если бы такой корень существовал, то, обозначив его буквой х
, мы получили бы неверное равенство х² = — 4, так как слева стоит неотрицательное число, а справа отрицательное.

Выражение √а
имеет смысл только при а ≥
0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √а ≥
0, (√а
)² = а
. Равенство (√а
)² = а
справедливо при а ≥
0. Таким образом, чтобы убедиться в том, что квадратный корень из неотрицательного числа а
равен b
, т. е. в том, что √а
=b
, нужно проверить, что выполняются следующие два условия: b ≥
0, b
² = а.

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z
:
f(z)
= z t
.
Выразим комплексную переменную z
через модуль r
и аргумент φ
(r = |z|
): z = r e i φ
.
Комплексное число t
представим в виде действительной и мнимой частей:t = p + i q
.
Имеем: Далее учтем, что аргумент φ
определен не однозначно:,

Рассмотрим случай, когда q = ,
то есть показатель степени — действительное число, t = p
.
Тогда.

Если p
— целое, то и kp
— целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z
,
имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p
— иррациональное, то произведения kp
ни при каком k
не дают целого числа. Поскольку k
пробегает бесконечный ряд значений k = 0, &pm;1, &pm;2, &pm;3, …

,
то функция z p
имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z
получает приращение 2
π
(один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p
— рациональное, то его можно представить в виде:,
где m, n

— целые, не содержащие общих делителей. Тогда.
Первые n
величин, при k = k 0
= 0, 1, 2, … n-1

,
дают n
различных значений kp
:
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0
+ n
имеем:.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2
π
,
имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k
мы получаем те же значения z p
,
что и для k = k 0
= 0, 1, 2, … n-1

.

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n
значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z
получает приращение 2
π
(один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n
таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n
имеет n
значений. В качестве примера рассмотрим корень n
— й степени действительного положительного числа z = x
.
В этом случае φ 0 = 0
, z = r = |z| = x
,
.
.
Так, для квадратного корня, n = 2

,
.
Для четных k, (- 1
)
k = 1

.
Для нечетных k, (- 1
)
k = — 1

.
То есть квадратный корень имеет два значения: + и — .

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Формулы степеней
используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c
является n
-ной степенью числа a
когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m
·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например
. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4
.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n
раз и в тоже время возвести в n
-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n
раз и в тоже время извлечь корень n
-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m
:a n =a m — n
можно использовать не только при m
> n
, но и при m
n
.

Например
. a
4:a 7 = a 4 — 7 = a -3
.

Чтобы формула a m
:a n =a m — n
стала справедливой при m=n
, нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем.
Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например
. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.
Чтобы возвести действительное число а
в степень m/n
, необходимо извлечь корень n
-ой степени из m
-ой степени этого числа а
.

9 класс

№ урока	Тема
1	Повторение материала 8 класса 11 минут 54секунд
2	Повторение материала 8 класса. Решение систем уравнений 13 минут 57секунд
3	Квадратичная функция.y = ax2 12 минут 11секунд
4	Квадратичная функция y = ax2 + bx + c 14 минут 13секунд
5	Графиком квадратичной функции y = ax2 + bx + c. 14 минут 10секунд
6	Область определения функции 14 минут 11секунд
7	Промежутки возрастания и убывания функции 13 минут 51секунд
8	Чётность и нечётность функции 9 минут 51секунд
9	Неравенства и уравнения содержащие степень 14 минут 43секунд
10	Решение задач 12 минут 56секунд
11	Решение задач 11 минут 36секунд
12	Решение систем уравнений второго порядка. 14 минут 21секунд
13	Решение простейших систем, содержащих вторую степень 11 минут 37секунд
14	Решение простейших систем, содержащих вторую степень. 11 минут 37секунд
15	Различные способы решения систем уравнений. 11 минут 11секунд
16	Решение задач (1). 13 минут 5секунд
17	Решение задач.Закрепление (1). 11 минут 36секунд
18	Решение неравенств и систем неравенств второй степени с одной переменной. 9 минут 35секунд
19	Решение примеров. 17 минут 35секунд
20	Решение практических задач. 19 минут 35секунд
21	Решение квадратных неравенств методом интервалов 17 минут 5секунд
22	Решение примеров 15 минут 11секунд
23	Доказательство простых неравенств 14 минут 4секунд
24	Решение примеров 12 минут 17секунд
25	Решение примеров 11 минут 49секунд
26	Решение практических задач. 8 минут 11секунд
27	Решение практических задач. 9 минут 24секунд
28	Радианная мера угла 10 минут 32секунд
29	Поворот точки вокруг начала координат 14 минут 42секунд
30	Определение синуса. Косинуса. Тангенса и Котангенса угла 14 минут 6секунд
31	Решение примеров 13 минут 15секунд
32	Решение примеров 12 минут 38секунд
33	Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента 9 минут 39секунд
34	Решение примеров 12 минут 13секунд
35	Тригонометрические тождества 15 минут 18секунд
36	Радианная мера угла 10 минут 36секунд
37	Синус, косинус, тангенс и котангенс углов а И -а 12 минут 54секунд
38	Формулы сложения 11 минут 22секунд
39	Решение примеров 16 минут 16секунд
40	Синус и косинус двойного угла 16 минут 24секунд
41	Формулы приведения 10 минут 12секунд
42	Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов 17 минут 20секунд
43	Синус, косинус, тангенс и котангенс углов а и -а 12 минут 44секунд
44	Числовые последовательности 17 минут 0секунд
45	Арифметические прогрессия 11 минут 4секунд
46	Сумма n первых членов арифметической прогрессии 11 минут 53секунд
47	Геометрическая прогрессия 10 минут 45секунд
48	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 19 минут 29секунд
49	Решение задач 19 минут 29секунд
50	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 минут 17секунд
51	Решение задач 9 минут 35секунд
52	Практические и мепредметные задачи (2 часть) 8 минут 26секунд
53	Решение задач (1 часть) 10 минут 1секунд
54	Решение задач (2 часть) 10 минут 1секунд
55	События 16 минут 3секунд
56	Решение задач 6 минут 30секунд
57	Вероятность события 9 минут 9секунд
58	Решение задач 8 минут 56секунд
59	Относительная частота случайного события 11 минут 40секунд
60	Случайные величины (1) 8 минут 5секунд
61	Случайные величины (2 часть) 8 минут 5секунд
62	Числовые характеристики случайных величин 10 минут 39секунд
63	Решение задач 9 минут 4секунд
64	Повторение 9 минут 58секунд

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:

\

Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль
. Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:

\

Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:

1. Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
2. И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.

Раберёмся с первым выражением: $\sqrt{{{3}^{4}}}$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:

\

Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:

Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:

\

Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:

В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:

\

Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.

Замечание по поводу порядка действий

1. Запись $\sqrt{{{a}^{2}}}$ означает, что мы сначала возводим число $a$ в квадрат, а затем извлекаем из полученного значения квадратный корень. Следовательно, мы можем быть уверены, что под знаком корня всегда сидит неотрицательное число, поскольку ${{a}^{2}}\ge 0$ в любом случае;
2. А вот запись ${{\left(\sqrt{a} \right)}^{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

\

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

\

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

«Современная профориентация педагогов и родителей, перспективы рынка труда и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Цель урока: обсудить понятие обратной функции и ее свойства.

На доске написать алгоритм выполнения самостоятельной работы для учащихся

Алгоритм выполнения самостоятельной работы:

Исследовать на монотонность.

Исследовать на ограниченность.

Исследовать на непрерывность.

Исследовать на четность.

Найти наименьшее и наибольшее значение.

Начать объяснение с показа на экране графиков двух функций, и, сравнивая эти функции ввести понятие обратимой функции.

Стр. 19

Используя рис. 20 и рис.21 докажем теорему:

Наглядная иллюстрация рис.20 и рис.21.

На доске сделать следующий рисунок:

Рассмотрим пример наглядно подтверждающий эту теорему.

Для графического отображения взаимообратных функций рекомендовать следующее правило:

О чем свидетельствует выше рассмотренный пример.

IV . Задание на уроке

VI . Подведение итогов урока

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Конспект предназначен в помощь учителям при подготовке к уроку по теме «Обратная функция». Последовательность изложения учебного материала поможет доступно объяснить учащимся нелегкую для их понимания тему. Наглядность теорем поможет учащимся самостоятельно осмыслить полученные знания на уроке. При объяснении данной темы рисунки по теме необходимо показывать на экране с помощью проектора.

Номер материала: ДБ-090207

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Апробацию новых учебников по ОБЖ завершат к середине 2022 года

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

В Петербурге школьникам разрешили уйти на каникулы с 25 декабря

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

— настрой учащихся на работу, организация внимания;

— сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

3. Объяснение нового материала.

Цель — формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Ответ:

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год