Дискриминантное значение
После того, как вы применили приведенную выше формулу и получили значение \(\Delta\) для дискриминанта, каково его значение?
- Шаг 1: Если \(\Delta > 0\): то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня
- Шаг 2: Если \(\Delta = 0\): то квадратное уравнение имеет только один действительный корень
- Шаг 3: Если \(\Delta
Что означает
два сопряженных комплексных корня
? Графически это просто парабола, которая не пересекает ось x.
С другой стороны, два разных вещественных корня графически означают, что парабола пересекает ось x в двух точках. Дискриминант, равный нулю, означает, что парабола является касательной к оси x.
Решение неполных квадратных уравнений
Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является квадратным уравнением, поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через дискриминант). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.
Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)Решение:
|
\(3x^2-27=0\) |
У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде: |
|
|
\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты. |
|
|
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
Найдем корни уравнения по формулам |
|
|
\(x_{1}=\)\(\frac{-0+\sqrt{324}}{2\cdot3}\)\(=\)\(\frac{18}{6}\)\(=3\) |
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\)
Пример: Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)Решение:
|
\(-x^2+x=0\) |
Опять неполное квадратное уравнение, но теперь нулю равен коэффициент \(c\). Записываем уравнение как полное. |
|
|
\(-x^2+x+0=0\) |
Вновь у нас уравнение равносильное исходному. Решаем его. Выписываем коэффициенты. |
|
|
\(a=-1;\) \(b=1;\) \(c=0;\) |
Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=1^2-4\cdot(-1)\cdot0=1+0=1\) |
Найдем корни уравнения по формулам |
|
|
\(x_{1}=\)\(\frac{-1+\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}\)\(=\)\(\frac{0}{-2}\)\(=0\) |
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=0\); \(x_{2}=1\)
Готово. И вроде все хорошо, если бы не одно но: для решения неполных квадратных уравнений есть способ лучше, быстрее и проще. Решать такие уравнения с помощью дискриминанты — это как нарезать мясо мечом.
Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)Решение:
|
\(3x^2-27=0\) |
Нам нужно значение икса, а есть только икс в квадрате. Ну так давайте выясним, чему равен \(x^2\), и уже оттуда найдем икс! |
|
|
\(3x^2=27\) |
Теперь разделим обе части уравнения на число перед иксом в квадрате, то есть, на тройку. |
|
|
\(3x^2=27\) \(|:3\) |
Ну и совсем просто: икс в квадрате равен 9. Чему равен сам икс? Понятно, что тройке либо минус тройке. |
|
|
\(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\) |
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\)
Вот и все! Просто? Еще бы! Поэтому неполные квадратные уравнения обычно решают именно такими преобразованиями, а не через дискриминант.
Теперь рассмотрим неполное квадратное другого типа (когда \(c=0\))
Пример: Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)Решение:
|
\(-x^2+x=0\) |
Какое действие тут напрашивается? Вынесение за скобку икса. Делаем. |
|
|
\(x\cdot(-x+1)=0\) |
Получилось, что произведение двух множителей равно нулю. Но это возможно, только если один из множителей равен нулю (продвинутые ученики тут узнали логику решения уравнения методом расщепления). То есть имеем: |
|
|
\(x=0\) или \(-x+1=0\) |
Первый корень уже есть. Без проблем находим второй, решая простое линейное уравнение, и пишем ответ. |
|
|
\(x_{1}=0\) \(-x=-1\) |
||
|
\(x_{2}=1\) |
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=0\); \(x_{2}=1\)
Еще проще – все решение заняло три строчки.
Разберем последний тип (когда и \(b\), и \(с\) равны нулю).
Пример: Решите уравнение \(5x^2=0\)Решение:
|
\(5x^2=0\) |
Разделим уравнение на пять. |
|
|
\(5x^2=0\) \(|:5\) |
||
|
\(x^2=0\) |
Ну и какое число в квадрате равно нулю? Ноль. |
|
|
\(x=0\) |
Записываем ответ |
Ответ: \(x=0\)
Зачем заботиться о дискриминанте?
Дискриминант предоставляет вам простую форму для оценки типов корней квадратного уравнения без фактического решения уравнения.
Естественно, мы видим, что дискриминант буквально появляется в
квадратичная формула
поэтому он явно связан с процессом вычисления
квадратичные корни
.
Пример: вычисление дискриминанта
Найдите дискриминант следующего уравнения: \(x^2+ 3x + 10 = 0\)
Отвечать:
Нам необходимо решить следующее заданное квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+3x+10=0\).
Для квадратного уравнения вида \(a x^2 + bx + c = 0\) дискриминант вычисляется по следующей формуле:
В данном случае мы имеем, что уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle x^2+3x+10 = 0\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты имеют вид:
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
Следовательно, дискриминант данного квадратного уравнения \(\Delta = \displaystyle -31
На этом расчет определителя завершен.
Пример: вычисление дискриминанта
Найдите дискриминант следующего уравнения: \(3x^2 — 2x + 4 = 0\)
Отвечать:
В данном случае, поскольку квадратное уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид \(\displaystyle x^2+3x+10 = 0\), то есть в упрощенной форме, соответствующие коэффициенты имеют вид:
Подставляя эти значения в приведенную выше формулу, находим, что:
Таким образом, дискриминант данного квадратного уравнения равен \(\Delta = \displaystyle -44
На этом расчеты завершены.
Пример: дискриминантное значение
Не решая уравнение \(2x^2 — 3x — 10 = 0\), укажите характер его корней.
Отвечать:
В этом случае нам нужно решить \(2x^2 — 3x + 1 = 0\), тогда соответствующие коэффициенты будут:
Подставляя эти значения в формулу определителя, находим, что:
Таким образом, дискриминант данного квадратного уравнения равен \(\Delta = 89 > 0\), что положительно. Поэтому, не решая уравнения, мы знаем, что данное уравнение \(2x^2 — 3x — 10 = 0\) имеет два различных действительных корня.
Алгебра 8 Мордкович (упр. 28.1 — 28.48)
§ 28. Формулы корней квадратных уравнений
Найдите дискриминант квадратного уравнения:
Задание № 28.1. а) х2 + 5х – 6 = 0; б) х2 – 1,3х + 2 = 0; в) х2 – 7х – 4 = 0; г) х2 – 2,4х +1 = 0.
Задание № 28.2. а) 3х2 + 2х – 1 = 0; б) –х2 + 4х + 3 = 0; в) 4х2 – 5х – 4 = 0; г) –2х2 + 5х + 3 = 0.
Определите число корней квадратного уравнения:
Задание № 28.3. а) х2 – 8х – 84 = 0; б) 36х2 – 12х + 1 = 0; в) х2 – 22х – 23 = 0; г) 16х2 – 8х + 1 = 0.
Задание № 28.4. а) х2 + 3х + 24 = 0; б) х2 – 16х + 64 = 0; в) х2 – 2х + 5 = 0; г) х2 + 6х + 9 = 0.
Задание № 28.5. а) х2 – 5х + 6 = 0; б) х2 – 2х – 15 = 0; в) х2 + 6x + 8 = 0; г) x2 – 3x – 18 = 0.
Задание № 28.6. а) х2 + 42х + 441 = 0; б) х2 + 8х + 7 = 0; в) х2 – 34х + 289 = 0; г) х2 + 4х – 5 = 0.
Задание № 28.7. а) 2х2 + 3х + 1 = 0; б) 3х2 – 3х + 4 = 0; в) 5х2 – 8х + 3 = 0; г) 14х2 + 5х – 1 = 0.
Задание № 28.8. а) 4х2 + 10х – 6 = 0; б) 25х2 + 10х + 1 = 0; в) 3х2 – 8х + 5 = 0; г) 4х2 + х + 67 = 0.
Задание № 28.9.
Задание № 28.10.
Задание № 28.11.
Задание № 28.12.
Задание № 28.13.
Задание № 28.14.
Задание № 28.15.
Задание № 28.16.
Задание № 28.17.
Задание № 28.18.
Задание № 28.19.
Задание № 28.20.
Задание № 28.21. Докажите, что при любом значении параметра р уравнение 3х2 – рх – 2 = 0 имеет два корня.
Задание № 28.22. Найдите натуральное число, квадрат которого на 56 больше самого числа.
Задание № 28.23. Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой, а его площадь равна 84 см2. Найдите стороны прямоугольника.
Задание № 28.24. Представьте число 120 в виде произведения двух чисел, одно из которых на 2 меньше другого.
Задание № 28.25. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 м2. Найдите катеты этого треугольника, если один больше другого на 31 м.
Задание № 28.26. От квадратного листа картона отрезали полоску шириной 3 см. Площадь оставшейся части равна 70 см2. Найдите первоначальные размеры листа картона.
Задание № 28.27. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 271 больше их суммы. Найдите эти числа.
Задание № 28.28. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 1201. Чему равна разность квадратов этих чисел?
Задание № 28.29. Найдите три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 1589.
Задание № 28.30. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 32 см и больше другого на 9 см. Найдите стороны треугольника.
Задание № 28.31. В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой – на 4 см. Найдите гипотенузу.
Задание № 28.32. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа.
Задание № 28.33. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 840. Найдите эти числа.
Задание № 28.34. Вкладчик положил в банк 10 000 р. под некоторый процент годовых. В конце первого года банк увеличил процент годовых на 5%. Под какой процент были положены деньги, если после двух лет хранения денег в банке вкладчик получил 11 550 рублей?
Задание № 28.36.
Задание № 28.37.
Задание № 28.38.
Задание № 28.39.
Задание № 28.40.
Задание № 28.41.
Задание № 28.42.
Задание № 28.43.
Задание № 28.44.
Задание № 28.45.
Задание № 28.46.
Задание № 28.47.
Задание № 28.48.
Вы смотрели: Алгебра 8 класс. Часть 2 (Задачник) УМК Мордкович (2018-2020). ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. § 28. Формулы корней квадратных уравнений. ОТВЕТЫ на упражнения 28.1 — 28.48. Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ.
Просмотров: 95 131